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Binary and ternary forms with prescribed polar systems. (English) JFM 54.0133.03

Eine binäre Form der Ordnung n sei mit f n , eine ternäre mit C n bezeichnet. Man kennt folgende beiden Polarensätze: (I) Zwei f 3 sind (im allgemeinen) erste Polaren einer f 4 ; (II) Drei C 2 sind (im allgemeinen) erste Polaren einer C 3 .

Zunächst beweist Verf. folgende Kriterien für die Gültigkeit beider Sätze. Sind bei (I) f 3 und f 3 ' die gegebenen Formen, so darf keine Form des Büschels (f 3 ,f 3 ' ) ein voller Kubus sein. Analog, sind bei (II) C 2 ,C 2 ' ,C 2 '' die gegebenen Formen, so darf keine Form des Netzes (C 2 ,C 2 ' ,C 2 '' ) ein volles Quadrat sein.

Sodann wird zu Ausdehnungen übergegangen. Das Hauptergebnis ist, daß sich zwar 1 Analoga zu (I) aufstellen lassen, aber keines zu (II).

Der Grundgedanke beruht auf der Bildung des linearen Systems der k-ten Polaren einer (binären oder ternären) Urform, und des konjugierten (apolaren) Systems, sowie der weiteren Beziehungen zwischen beiden. Es werden dann die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür aufgestellt, daß ein vorgelegtes lineares System, der gleichen Ordnung n-k, mit jenem Polarensystem zusammenfällt.

Bei der Anwendung auf die obigen Fälle (I) und (II) und die Erweiterungen von (1) bereiten nur gewisse Ausnahmefälle einige Schwierigkeit.