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Sulle coppie di funzioni a variazione limitata. (Italian) JFM 54.0290.04

Verf. nimmt die folgenden, von ihm früher (1927; F. d. M. 53, 214 (JFM 53.0214.*)-215) aufgestellten Definitionen als Ausgangspunkt an.

Ein Funktionenpaar:

(1)x=ϕ(u,v),y=ψ(u,v),

welches auf einem dreieckigen Netze definiert und in jedem Dreieck linear ist, heiß t “fastlinear”; seine “Totalschwankung” ist die Summe der Inhalte der in der xy-Ebene den Dreiecken des Netzes entsprechenden Dreiecke. Man sagt ferner ein auf einer beliebigen Punktmenge I der uv-Ebene definiertes Funktionenpaar ϕ(u,v), ψ(u,v) sei “von beschränkter Schwankung”, wenn der kleinste Grenzwert der Totalschwankung derjenigen Funktionenpaare endlich ist, die ϕ,ψ) als Grenze haben, wenn die bezüglichen Netze nach I streben. Die “Totalschwankung” von (ϕ,ψ) ist der Inhalt des bezüglichen ebenen Bereiches (1).

Hier unterscheidet Verf. die “positive” und die “negative Schwankung” je nach dem die einander entsprechenden Dreiecke der uv- und der xy-Ebene gleiche oder entgegengesetzte Orientierung haben; die algebraische Summe beider Schwankungen ist die “Schwankung” schlechtweg. Die Schwankung eines auf einer Punktmenge I gegebenen Funktionenpaares wird analog definiert.

Die Totalschwankung V(I) und die Schwankung W(I) sind additive Funktionen.

Man schreibt:

dV dI=(ϕ,ψ) (u,v),dW dI=(ϕ,ψ) (u,v);

dieser letzte Ausdruck wird als die “Ableitung” des Funktionenpaares” (ϕ,ψ) bezeichnet, und geht in die Funktionaldeterminante von ϕ und ψ über, wenn beide Funktionen stetige Ableitungen besitzen. Der “Totalinhalt” des Bereiches (1) und der “Inhalt” des “orientierten” Bereiches (1) sind die über I erstreckten Doppelintegrale von dV dI und dW dI.

Den Schluß der Note bilden einige Bemerkungen über verwandte Untersuchungen von S. Banach (Fundamente 6 (1924), 170-188; 7 (1925), 225-236. F. d. M. 56, 185; 51).