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Products of generalized hypergeometric series. (English) JFM 54.0392.04

Betrachtet werden die allgemeinen hypergeometrischen Reihen vom Typ

p F q (α 1 ,,α p ;ϱ 1 ,,ϱ q ;x)= n=0 (α 1 ) n (α p ) n (ϱ 1 ) n (ϱ q ) n x n n!,
(α) n =α(α+1)+(α+n-1)·

Abgesehen von den Fällen, wo sie abbrechen oder sinnlos sind, konvergieren sie bekanntlich nur für qp-1, und zwar für q>p-1 beständig; falls q=p-1, nur für |x|<1 absolut (vgl. Pochhammer, 1891; F. d. M. 23, 338). In dem Produkt

p F q (α 1 ,,α p ;ϱ 1 ,,ϱ q ;x)· r F s (β 1 ,,β r ;σ 1 ,,σ s ;cx)= n=0 A n x n

ist nun A n das Produkt aus dem Koeffizienten einer gewissen hypergeometrischen Reihe und einer (abbrechenden) hypergeometrischen Reihe vom letzten Argument ±c. Diese letztere Reihe läß t sich in manchen Fällen durch Formeln von Gauß  Kummer u. a. mittels 𝛤Funktionen derart in geschlossener Form darstellen, daß das gesamte FProdukt sich wieder als hypergeometrische Reihe schreiben läßt. In ähnlicher Weise lassen sich manche Produkte der Form

q F q (x) r F s (cx λ )und(1-x) p r F s kx λ (1-x) μ (λ,μganz)

bei passenden Werten der Parameter vereinfachen.