zbMATH — the first resource for mathematics

Examples
Geometry Search for the term Geometry in any field. Queries are case-independent.
Funct* Wildcard queries are specified by * (e.g. functions, functorial, etc.). Otherwise the search is exact.
"Topological group" Phrases (multi-words) should be set in "straight quotation marks".
au: Bourbaki & ti: Algebra Search for author and title. The and-operator & is default and can be omitted.
Chebyshev | Tschebyscheff The or-operator | allows to search for Chebyshev or Tschebyscheff.
"Quasi* map*" py: 1989 The resulting documents have publication year 1989.
so: Eur* J* Mat* Soc* cc: 14 Search for publications in a particular source with a Mathematics Subject Classification code (cc) in 14.
"Partial diff* eq*" ! elliptic The not-operator ! eliminates all results containing the word elliptic.
dt: b & au: Hilbert The document type is set to books; alternatively: j for journal articles, a for book articles.
py: 2000-2015 cc: (94A | 11T) Number ranges are accepted. Terms can be grouped within (parentheses).
la: chinese Find documents in a given language. ISO 639-1 language codes can also be used.

Operators
a & b logic and
a | b logic or
!ab logic not
abc* right wildcard
"ab c" phrase
(ab c) parentheses
Fields
any anywhere an internal document identifier
au author, editor ai internal author identifier
ti title la language
so source ab review, abstract
py publication year rv reviewer
cc MSC code ut uncontrolled term
dt document type (j: journal article; b: book; a: book article)
The minimum value of quadratic forms, and the closest packing of spheres. (English) JFM 55.0721.01

Verf. geht aus von der Frage nach dem Minimum einer positiv-definiten quadratischen Form mit gegebener Determinante D in n Veränderlichen, das bekanntlich γ n D 1 n mit nur von n abhängendem γ n ist. Verf. erhielt als obere Grenze für γ n den Ausdruck

2 π𝛤 1 + n+2 2 2 n

(Bulletin A. M. S. 25 (1919), 449-453; F. d. M. 47, 893 (JFM 47.0893.*)-894). Das genauere Studium von γ n , insbesondere die Frage nach den Formen, für die γ n den kleinsten möglichen Wert hat, hängt eng mit der Untersuchung der dichtesten Lagerung von Kugeln in einem passend großen Würfel zusammen. Verf. beschäftigt sich insbesondere mit der Untersuchung der Zahl ϱ 1 für die bei beliebiger Lagerung von Kugeln mit gleichem Radius in einem Würfel das Verhältnis ϱ 2 des von den Kugeln eingenommenen Volumens zum Volumen des Würfels kleiner als ϱ 1 ist, so daß

γ n <4 πϱ 1 𝛤 1 + n 2 2 n

gilt. Er erhält durch elementargeometrische Betrachtungen folgende Ergebnisse:

Betrachtet man k Kugeln vom Radius 1 in einem Würfel von der Kantenlänge E, so ist

ϱ 1 =n+2 2 n+2 2 1 + 22-2 E n ·

Man betrachtet nun ”physikalische” Kugeln vom Radius 2, deren Massendichte im Abstand r vom Mittelpunkt im Intervall 1r2 durch 2-r 2 , im Intervall 2-2r1 durch (2-r) 2 , im Intervall 0r2-2 durch 2 gegeben sei. Mit

K=π n 2 𝛤1 + n 2

und

4kK n+22 n 2 + 1 n+1 (2-2) n+1 2 2 + 1 n+1=4kK2 n 2 n+2(1+g)

ist dann

ϱ 1 =n+2 2 n+2 2 (1+g)

und folglich

γ n <2 π[𝛤1 + n+2 2 1+g] 2 n ·

In einer Schlußbemerkung vergleicht Verf. sein Ergebnis numerisch mit der “shotpile” Anordnung von Kreisen, die im ebenen Fall die dichteste Lagerung liefert.

References:
[1]See ?Bulletin of the American Mathematical Society?25 (1919), pp. 449-453, for references; as well as L. E. Dickson, ?History of the Theory of Numbers?3, pp. 234-252. ? See also article by Remak, ?Mathematische Zeitschrift?26 (1927), pp. 694-699.