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Über die Nullstellen der unvollständigen Gammafunktionen. (German) JFM 56.0310.01

Verf. untersucht die Nullstellen der beiden unvollständigen 𝛤-Funktionen

P λ (z)= 0 λ e -t t z-1 dt,Q λ (z)= λ e -t t z-1 dt,

und zwar für komplexe λ, die in dem Winkelraum

(1)|arcλ|π 2-α,α>0

gelegen sind. Das Hauptergebnis lautet: Wenn λ auf dem in (1) gelegenen Strahl

(2)λ=|λ|e iϕ

ins Unendliche rückt, und wenn 𝔏 die zu (2) in bezug auf die Achse des Reellen symmetrische, durch den Nullpunkt gehende Gerade bedeutet, so häufen sich die Nullstellen von P λ (λz) gegen jeden Punkt desjenigen Halbstrahls von 𝔏, der von dem Punkt

(3)r 0 (ϕ)e -iϕ ,r 0 logr 0 e=cosϕ,

ausgeht und den Nullpunkt enthält, ferner gegen jeden Punkt der geschlossenen linsenförmigen Kurve, die durch die Gleichungen

(4)(zlogz+1-z) e iϕ =0,(1-z) e iϕ 0

definiert ist; im Innern von (4) gilt

(5)P λ (λz)𝛤(λz),|λ|·

Die Nullstellen von Q λ (λz) häufen sich gegen jeden Punkt der Kurve

(6)(zlogz+1-z) e iϕ =0,(1-z) e iϕ 0,

die eine analoge Gestalt hat wie eine Neilsche Parabel; rechts von (6) gilt

(7)Q λ (λz)𝛤(λz)·

Ferner wird für großes positives λ die Anzahl der nicht reellen Nullstellen von P λ (z) asymptotisch bestimmt.

Die Beweise dieser Ergebnisse finden sich in den Kapiteln III und IV der Arbeit; Kap. I enthält einige Hilfssätze, Kap. II die Herleitung asymptotischer Formeln für P λ (λz) und Q λ (λz).

Während die Arbeit gegenüber der bis Ende 1927 erschienenen Literatur über die unvollständige 𝛤-Funktion (Bourguet 1883, Lindhagen 1887, Nielsen 1906, Haskin 1915, Gronwall 1916, Franklin 1919, Walther 1925, Rasch 1927) einen wesentlichen Fortschritt darstellt, ist G. Rasch, wie Verf. selbst bemerkt, in einer während der Drucklegung der vorliegenden Abhandlung erschienenen Arbeit (F. d. M. 54, 388 (JFM 54.0388.*)) zu Ergebnissen gelangt, die z. T. weiterreichen.