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Infinite integrals in the theory of Bessel functions. (English) JFM 56.0314.02

Als Erweiterung des Abschnitts XIII der “Theory of Bessel functions” von Watson (F. d. M. 48, 412 (JFM 48.0412.*)) beweisen die Verf. mit Hilfe des Cauchyschen Integralsatzes viele neue und bekannte Formeln aus der Lehre von den Besselschen Funktionen. Dabei benutzen sie außer den üblichen Bezeichnungen die weiteren

L μ (x)=-Y μ (x)-2 πK μ (x),M μ (x)=-Y μ (x)+2 πK μ (x)

bei beliebigem μ. Sie beginnen mit der Herleitung von Formeln der Art

(1) 0 H 0 (1) (ax)h 1 (1) (bx)dx=i 0 H 0 (1) (axi)h 1 (1) (bxi)dx;

die Funktionen h ν (1) (z) usw. gehen aus den Hankelschen H ν (1) (z) usw. durch Hinzufügung eines die Integration von 0 bis 1 ermöglichenden Summanden hervor. Aus Beziehungen wie (1), die die Verf. kurz als “Vermehrung des Arguments um 1 2π” bezeichnen, können Hardys Formeln gewonnen werden:

0 M 0 (ax)L 1 (bx)dx=0, 0 L 1 (ax)M 0 (bx)dx=1 a,a>b>0·

Die Verf. wenden sich dann zu den Weber-Schafheitlinschen Integralen; sie zeigen deren Unstetigkeitseigenschaften durch die Verschiedenartigkeit der beiden Formeln für a>b, a<b, deren erste lautet:

0 J μ (ax)J ν (bx) x λ dx=2 πcos(λ+μ-ν)π 2 0 K μ (ax)I ν (bx) x λ dx;R(λ)>-1,R(±μ+ν+1-λ)>0·

Das Integral links wertet man dadurch aus, daß man das Integral rechts nach Watson durch eine hypergeometrische Funktion ausdrückt. Die Verf. leiten ferner auf eine neue Weise die Integralformel von Nicholson her,

(2)J ν 2 (x)+Y ν 2 (x)=8 π 2 0 K 0 (2x𝔖𝔦𝔫t)ℭ𝔬𝔣2νtdt·

Dazu beweisen sie zunächst die Gleichung

K μ (x)K ν (z)=2 0 K μ+ν (2zℭ𝔬𝔣t)ℭ𝔬𝔣(μ-ν)tdt

für |argz|=1 2π, |R(μ-ν)|<3 2; mit ihrer Hilfe ergibt sich, daß

J μ (x)J ν (x)+Y μ (x)Y ν (x)=4 π 2 0 K ν-μ (2x𝔖𝔦𝔫t)[e (μ+ν)t -e -(μ+ν)t cos(μ-ν)π]dt,

wenn R(x)>0, |R(μ-ν)|<1. Hieraus folgt (2), wenn μ=ν. Zum Schlusse geben die Verf. eine Reihe umfänglicherer Beziehungen an, unter deren einfachsten Folgerungen sie die Formeln anführen:

K ν (x)I μ (x)= 0 J μ+ν (2x𝔖𝔦𝔫t)e (ν-μ)t dt,μ+ν>-1,ν-μ<3 2,K ν (x)I μ (x)= 0 J μ-ν (2x𝔖𝔦𝔫t)e -(μ+ν)t dt,μ-ν>-1,-μ-ν<3 2·