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Sur la méthode de M. A. Krylov de composition de l’équation séculaire. (Russian) JFM 57.1455.01

Verf. verfolgt ausführlicher die von Krylov (s. vorstehendes Referat) gegebene Methode zur Umformung der charakteristischen Gleichung

a 11 -λa 12 a 1k a 21 a 22 -λa 2k a k1 a k2 a kk -λ(1)

des linearen Differentialgleichungssystems

q i ' = s=1 k a is q s (i=1,2,...,k)(2)

mit konstanten Koeffizienten. Es wird allgemeiner

x=aq 1 +bq 2 ++fq k (3)

angesetzt, worin a, b, ..., f Konstanten sind. Durch k-malige Differentiation von (3) und Ersetzung von q i ' durch s=1 k a is q s gelangt Verf. zu dem System

x=aq 1 ++fq k ,x (i) =a i q 1 ++f i q k (i=1,2,...,k)(4)

mit den leicht vermittels a, b, ..., f i und der Matrix A=(a is ) zu bildenden konstanten Koeffizienten a i , b i , ..., f i . Die Elimination von q 1 , q 2 , ..., q k aus (4) ergibt eine Differentialgleichung für x:

xabfx ' a 1 b 1 f 1 x (k) a k b k f k =0·(5)

Der Koeffizient

M=abfa 1 b 1 f 1 a k-1 b k-1 f k-1 (6)

wird “verschiebender Faktor der Matrix A” genannt. Das Verschwinden von M bei einem Wertesystem für a, b, ..., f ist die notwendige und hinreichende Bedingung für das Verschwinden sämtlicher Koeffizienten von (5). Das wird gefolgert, indem durch Kontinuitätsbetrachtungen und algebraisch die Richtigkeit der Identität

Ma 11 -λa 12 a 1k a 21 a 22 -λa 2k a k1 a k2 a kk -λ=1ab...fλa 1 b 1 f 1 λ 2 a 2 b 2 f 2 λ k a k b k f k

bewiesen wird.

Weiter untersucht Verf. die Änderung des verschiebenden Faktors M einer Matrix A, wenn man dieselbe mit der Matrix B transformiert. Falls A * =B -1 AB ist und das Transformationsgesetz

a * =b 11 a+b 21 b++a 1k ff * =b 1k a+b 2k b++b kk fB=b 11 b 12 b 1k b k1 b k2 b kk

für die Parameter a, b, ..., f angenommen wird, findet man M * =M|B|. Indem B so gewählt wird, daß A * die Jordansche Diagonalform hat, kommt Verf. zu dem Schlusse: Damit der verschiebende Faktor M nicht identisch (d. h. für alle Werte von a, b, ..., f) verschwindet, ist notwendig und hinreichend, daß die Weierstraßschen Elementarteiler von A relativ prim zueinander sind.