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Imaginäre quadratische Zahlkörper mit der Klassenzahl 1. (German) JFM 59.0946.03

Durch Hecke-Landau weiß man, daß die Klassenzahl \(h_D\) des imaginär-quadratischen Zahlkörpers \(K_D\) mit der Diskriminante \(-D\) größer als \(b(a) \frac {\sqrt D}{ \log D}\) und somit insbesondere nur endlich oft \(h_D = 1\) ist, wenn die zugehörige \(L\)-Funktion
\[ L_D(S) = \sum _{n=1}^\infty \left ( \frac {-D}{n} \right ) \frac 1{n^8} \]
auf der reellen Strecke \(1-\frac{a}{\log D} \le s<1\) von Null verschieden ist. Hier wird ein überraschender Zusammenhang zwischen dem Verhalten von \(h_D\) und den nicht-reellen Nullstellen der gewöhnlichen Riemannschen \(\zeta \)-Funktion \(\zeta (s) = \sum _{n=1}^\infty \frac 1{n^s}\) entwickelt. Es wird nämlich bewiesen, daß, wenn es unendlich viele \(D\) mit \(h_D = 1\) gibt, die folgenden Tatsachen gelten: Alle nicht-reellen Nullstellen von \(\zeta (s)\) (a) haben den Realteil \(\frac 12\) (Riemannsche Vermutung), (b) sind einfach, und für jede solche Nullstelle \(\tfrac12 + it\) ist in der Folge aller \(D\) mit \(h_D = 1\)
\[ \lim_{D \to \infty } D^{it} = - (4\pi)^{it} \frac{\Gamma (\frac12 - it) \zeta (1-2 it)}{\Gamma (\frac 12 + it) \zeta (1+2it)}, \]
\[ \lim_{D \to \infty } \frac {L_D (\frac 12 + it )}{\log D} = - \frac {\zeta (1+2it)}{\zeta ' (\frac 12 + it)}. \]
Die Beweise beruhen auf einer asymptotischen Entwicklung der Dedekindschen \(\zeta \)-Funktion
\[ \zeta_Q (S) = {\sum_{m,n}} ' \frac 1{(am^2 + bmn + cn^2)^8} \quad (4ac - b^2 = D,\ a>0) \]
einer Idealklasse des quadratischen Zahlkörpers \(K_D\), bei der das Hauptglied lautet:
\[ \frac 1{a^8} \zeta (2s) + a^{s-1} \left ( \frac {D}4 \right )^{\frac 12 -s} \pi ^{\frac 12} \frac {\zeta (2s-1) \Gamma (s-\frac 12)}{\Gamma (s)} \] und der Rest \(R_Q (s)\) für \(\sigma = \operatorname{Re} s>0\) und \(t_1 = \text{Max} (1, | \operatorname{Im} s|) \le \frac {\pi \sqrt D}{18a}\) asymptotisch in \(D\) und \(a\) abgeschätzt wird.
Unabhängig von der Existenz unendlich vieler \(D\) mit \(h_D = 1\) wird noch bewiesen, daß diese \(D_\nu \) jedenfalls so selten sind, daß \(\log D_{\nu + 1} > c \sqrt[4]{D_{\nu -1}}\) mit einer positiven Konstanten \(c\) ist.
Verf. schreibt übrigens in den Formlen durchweg \(d\) für \(\frac{D}{4}\); in den beiden obigen Limersrelationen hat er versehentlich die Minuszeichen vor den Ausdrückten auf der rechten Seite ausgelassen.
Diese Arbeit hat den Anstoß und den entscheidenden Gedanken für eine spätere Arbeit von H. Heilbronn gegeben, in der die Gaußsche Vermutung \(h_D \to \infty \) für \(D \to \infty \) bewiesen wird [Q. J. Math., Oxf. Ser. 5, 150–160 (1934; JFM 60.0155.01)]. (III 7.)

MSC:

11R11 Quadratic extensions
11R29 Class numbers, class groups, discriminants

Citations:

JFM 60.0155.01
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