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Geometrisches zur Riemannschen Zetafunktion. (German) JFM 60.0272.04
Die reellen Züge der ζ-Funktionen, d.h. die Kurven in der s=σ+it Ebene, längst deren ζ(s) reell ist, hängen natürlich mit dem Werteverteilungsproblem der Zetafunktion zusammen. Ihre ungefähre Zahl unterhalb T ist links vom kritischen Streifen TlogT, rechts T. Die von rechts kommenden, in dem kritischen Streifen mündenden Züge können dort werder umkehren, noch ins Unendliche innerhalb des Streifens wandern. Es können nämlich nur logT (Mangold) Züge die Horizontale t=T schneiden. Geht aber ein Zug ins Unendliche, so alle späteren auch. Also würde die Größenordnung der schneidenden Züge T werden. Das gleiche gilt für die von links kommenden Züge. Einige von ihnen können den Streifen dirchqueren und in einen von rechts kommenden Zug eingehen. Es bleiben aber noch TlogT Züge übrig; diese müssen also in Streifen umkehren und wieder nach links zurücklaufen. Verf. nennt sie Lamellen. Die Riemannsche Vermutung ist äquivalent mit der Behauptung, daß alle Lamellen bis an die kritische Gerade heranreichen. Sie können also in diesem Falle nicht bereits in der linken Hälfte umbiegen. Berachtet man nicht nur die reellen Züge, sondern alle Züge mit konstanter Amplitude von ζ(s), so ergibt sich sofort, daß mit der Riemannschen Vermutung die Behauptung äquivalent ist, daß alle nichttrivialen Nullstellen von ζ ' in der Halbebene σ1 2 liegen. (IV 5.)
References:
[1]Für den Verlauf der Gammafunktion vgl. ferener J. Lense, Über die konforme Abbildung durch die ?-Funktion, Sitzber. Bayr. Akad. München 1928.