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On a kernel function of a domain and their boundary behavior. I, II. (Über die Kernfunktion eines Bereiches und ihr Verhalten am Rande. I, II.) (German) JFM 60.1025.01

I. 𝔅 sei ein schlichter, beschränker Bereich des (z 1 ,z 2 )-Raumes (z 1 =x 1 +iy 1 , z 2 =x 2 +iy 2 ), F 𝔅 die Familie der in 𝔅 regulären Funktionen f(z 1 ,z 2 ), für die 𝔅 |f| 2 dω (dω das vierdimensionale Volumenelement) endlich ist. Bilden die Funktionen φ 0 ,φ 1 ,,φ ν , aus F 𝔅 ein vollständiges, normiertes Orthogonalsystem - zu jedem 𝔅 gibt es wenigstens ein solches -, so ist die Kernfunktion K 𝔅 (z 1 ,z 2 ) definiert durch:

K 𝔅 (z 1 ,z 2 )= ν=0 |φ ν (z 1 ,z 2 )| 2 ·

Sie ist eine in 𝔅 reellanalytische Funktion von x 1 , y 1 , x 2 , y 2 und erweist sich als unabhängig von dem gewählten Orthogonalsystem. Es gilt dann die wichtige Beziehung:

K 𝔅 (z 1 ,z 2 )=obereGrenze|h(z 1 ,z 2 )| 2 ,

wo h all Funktionen aus F 𝔅 mit 𝔅 |h| 2 dω1 durchläuft. Es wird nun das Verhalten der Kernfunction bei Annäherung an den Rand untersucht. Dazu werden zunächst vier verschiedene Arten der Annäherung an einen Randpunkt definiert. Wird nun der Rand von 𝔅 in der Umgebung des Randpunktes Q dargestellt durch die zweimal stetig differenzierbare Hypefläche :Φ(x 1 ,y 1 ,x 2 ,y 2 )=0, so gilt folgendes: Ist im Punkt Q pseudokonvex von innen (das Innere von 𝔅 sei in der Umgebung von Q durch Φ<0 gegeben), d.h. ist L(Φ) (der Levische Differentialausdruck) in Q kleiner als Null, so bleibt K 𝔅 bei jeder Art der Annäherung an Q beschränkt. - Im Falle L(Φ)>0 in Q (Pseudokonvexität von außen) wird K 𝔅 bei der ersten Art der Annäherung von dritter Ordnung unendlich. - Die dritte Möglichkeit, L(Φ)=0, wird nur für zwei spezielle Fälle behandelt. - Insgesamt werden die Randpunkte nach der Art des Unendlichwerdens von K 𝔅 in Randpunkte nullter, zweiter, dritten und vierter Ordnung eingeteilt. In jeder dieser vier Klassen gibt es dann noch “Limespunkte”, die durch ein besonders charakteristisches Verhalten der Kernfunktion ausgezeichnet sind.

Die Beweise werden so geführt, daß der Bereich 𝔅 durch eine pseudokonforme Transformation auf einen geeigneten Bereich 𝔅 * abgebildet wird, wobei die Hyperfläche eine gewisse Normalgestalt annimmt (normale Koordinaten). Diese Beweistführung wird dadurch ermöglicht, daß die Kernfunktion eine relative Invariante gegenüber pseudokonformen Transformationen ist. Infolge dieser Invarianzeigenschaft von K 𝔅 wird durch

ds 2 = m,n=1 2 T mn ¯ dz m dz ¯ n mitT mn ¯ = 2 logK 𝔅 z m z ¯ n

in 𝔅 eine (positiv definite) gegenüber pseudokonformen Abbildungen invariante Maßbestimmung definiert.

II. Es wird nun das Verhalten dieser Metrik am Rande von 𝔅 untersucht. Es ergibt sich bei gewisser Annäherung an die Limespunkte Q m-ter Ordnung (m=2,3) bei Verwendung normaler Koordinaten die Beziehung

lim(z 1 +z ¯ 1 ) 2 ds 2 =m|dz 1 | 2 ·

Ist ferner (t 1 ,t 2 ) ein Punkt aus 𝔅 und f(z 1 ,z 2 ;t 1 ,t 2 ) eine in 𝔅 reguläre Funktion mit f(t 1 ,t 2 ;t 1 ,t 2 )=1, für die 𝔅 |f| 2 dω einer bestimmten Ungleichung genügt, so gilt, wenn sich (z 1 ,z 2 ) und (t 1 ,t 2 ) in bestimmter Weise einem Limespunkt dritter Ordnung nähern:

limz 1 3 (t 1 +t ¯ 1 ) 3 f(z 1 ,z 2 ;t 1 ,t 2 )=1·

Analoge Formeln gelten für Limespunkte zweiter Ordnung.