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Equazioni alle derivate parziali dei tipi ellittico e parabolico. (Italian) JFM 62.0547.04
IV + 186 p. Firenze, G. C. Sansoni (1936).

Das Buch enthält drei einzelne Arbeiten der Verf., die aus einem Preisausschreiben hervorgegangen sind und einen Überblick über die neueren Ergebnisse in der Theorie der elliptischen und parabolischen Differentialgleichungen geben. Der Reiz liegt in der persönlich verschiedenen Auffassung und Behandlung des Themas und der dadurch bedingten gegenseitigen Ergänzung.

Die Monographie von Burgatti gibt eine vollständige Behandlung der linearen elliptischen Differentialgleichungen zweiter Ordnung im R n mit vektoranalytischen Hilfsmitteln nach der klassischen Methode der Greenschen Funktion. Die Randwertaufgaben der Laplaceschen Gleichung werden vollständig gelöst und anschließend die gefundenen Ergebnisse auf die metaharmonischen Funktionen, d. h. die Lösungen von 𝛥u+cu=0 übertragen. Auf das Eigenwertproblem und die Entwicklungssätze dieser Gleichung wird eingegangen. Schließlich werden die selbstadjungierten linearen elliptischen Differentialgleichungen als Beltramische Differentialoperatoren einer Riemannschen Mannigfaltigkeit gedeutet.

Die umfassendste der drei Arbeiten ist die von Ascoli; sie gibt einen vollständigen Einblick in die in den letzten Jahrzehnten entwickelten Methoden und zeichnet sich besonders durch genaue Angabe der an Koeffizienten, Bereiche usw. zu stellenden Bedingungen aus. Behandelt wird die allgemeine nichtlineare Differentialgleichung. Für den Hilbertschen Satz von der Analytizität der Lösung elliptischer Gleichungen werden die drei Beweiswege von S. Bernstein, Gevrey und H. Lewy wiedergegeben. Es folgt die ausführliche Theorie der Reduktion auf Normalformen, die Herstellung regulärer Lösungen mittels explizit angegebener Elementarlösungen. Die Randwertprobleme, zunächst bei linearen Gleichungen, werden auf Integralgleichungen zurückgeführt und die entsprechenden Wege, Hilberts Parametrixmethode, Greensche Funktion, Methode der Potentiale, eingehend erörtert; bei nichtlinearen Gleichungen wird die Lösung unter scharfumrissenen Bedingungen entweder durch schrittweise Näherung oder durch analytische Fortsetzung nach einem Parameter erzwungen. Der letzte Abschnitt bringt die Theorie der allgemeinen parabolischen Gleichung mit besonders eingehender Behandlung der linearen Gleichungen in zwei Variablen und der zugehörigen Randwertprobleme; bei dem unabgeschlossenen Zustand dieses Gebietes ist der Überblick über das bisher Bekannte besonders wertvoll. Ein ausführliches Schriftenverzeichnis bildet den Abschluß.

Die Abhandlung von Giraud stützt sich zum größten Teil auf eigene Arbeiten; sie betrachtet zunächst die lineare elliptische Differentialgleichung zweiter Ordnung auf einer allgemeinen Riemannschen Mannigfaltigkeit, bespricht eingehend die Herstellung der Fundamentalfunktionen von E. E. Levi und ihre Verwendung zur Bildung einund mehrfacher Potentiale und zur Zurückführung der Randwertaufgaben auf Integralgleichungen. Eine knappe, aber erschöpfende Übersicht umfaßt alle möglichen Formen von Rand- und Eigenwertproblemen. Interessant ist der Versuch, die Methoden möglichst weitgehend auf dem Wege der Herstellung expliziter Elementarlösungen auch für lineare parabolische Gleichungen verwendbar zu machen. (IV 14.)