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Examples of continuous geometries. (English) JFM 62.0648.03

Es handelt sich um die Weitertreibung eines auf K. Menger (Jber. Deutsche Math. Verein. 37 (1928), 309-325; F. d. M. 54, 95-96) zurückgehenden, von G. Birkhoff (Ann. Math., Princeton, 36 (1935), 743-748; F. d. M. 61 I , 593) u. a. fortgesetzten Bestrebens, in der Axiomatik der projektiven Geometrie die Grundbegriffe des Punktes und der Geraden durch einen allgemeineren Begriff, den des linearen Unterraumes, zu ersetzen. Verf. benutzt als einzige undefinierte Grundvorstellungen die Menge aller linearen Unterräume eines gegebenen Raumes und die Relation a<b (a ist eigentlicher Unterraum von b). Für das vom Verf. mitgeteilte Axiomensystem ist kennzeichnend, daß von der anderwärts (z. B. bei Birkhoff a. a. O.) verwendeten, die Existenz von Punkten sichernden Kettenbedingung (jede Folge von ineinander geschachtelten linearen Unterräumen a 1 >a 2 >a 3 >... bricht ab) kein Gebrauch gemacht wird. Demzufolge muß der Nachweis der Existenz einer eindeutig bestimmten Dimensionsfunktion d(a) auf einem anderen Wege als bei G. Bergmann (Mh. Math. Phys. 36 (1929), 269-284; F. d. M. 55 I , 309) und Birkhoff (a. a. O.) erbracht werden: Der Begriff der Dimensionszahl wird auf dem Begriff der Gleichdimensionalität, d. h. der projektiven Äquivalenz, begründet, ein Verfahren, das von der Definition der Mächtigkeit einer Menge her bekannt ist. Das Hauptergebnis der Arbeit besteht darin, daß als Wertebereich für die Dimensionsfunktion d(a) nicht nur die Mengen 0,1 n,2 n,...,1 möglich sind, sondern auch das abgeschlossene Intervall 0x1. Der erste Fall (die Dimensionszahl eines linearen Unterraumes a ist gleich nd(a)-1 zu setzen) führt auf die bekannten (n-1)-dimensionalen projektiven Geometrien (diskrete Geometrien), der zweite ergibt Geometrien von neuartiger Struktur, Verf. nennt sie “continuous geometries”, denen der Begriff des Punktes fremd ist.

In der zweiten Note konstruiert Verf., ausgehend von einem beliebigen, nicht notwendig kommutativen Körper, mittels eines Grenzprozesses Beispiele für kontinuierliche Geometrien. Da es sich hier wie auch in der ersten Note um vorläufige Mitteilungen ohne ausgeführte Beweise handelt und eine ausführliche Veröffentlichung angekündigt wird, kann auf nähere Einzelheiten nicht eingegangen werden. Vgl. auch die inzwischen in Proc. nat. Acad. Sci. USA 23 (1937), 16-22 erschienene Mitteilung Algebraic theory of continuous geometries (F. d. M. 63).