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The subgroup of the elements of finite order of an abelian group. (English) JFM 62.1093.05

Bei der Untersuchung unendlicher abelscher Gruppen beschränkt man sich meistens auf Gruppen, deren Elemente sämtlich endliche oder sämtlich unendliche Ordnung haben. Es ist daher von Interesse zu wissen, wann man bei einer beliebigen abelschen Gruppe \(A\) die Untergruppe \(F(A)\) der Elemente endlicher Ordnung als direkten Summanden abspalten kann. Diese Frage wird in der vorliegenden Arbeit behandelt.
\(C(p, F)\) bedeute die Untergruppe aller derjenigen Elemente von \(F(A)\), deren Ordnung eine Potenz der Primzahl \(p\) ist. Ferner sei \(p^\omega C(p, F)\) der Durchschnitt aller Gruppen \(p^i C (p, F)\) für \(i = 1, 2, \cdots\). Dann sind die folgenden beiden Bedingungen notwendig und hinreichend dafür, daß \(F(A)\) direkter Summand von \(A\) ist:
(1) Für jede Primzahl sind die Ordnungen der Elemente von \(C(p, F)/p^\omega C(p, F)\) beschränkt.
(2) Für fast alle Primzahlen (d. h. mit höchstens endlich vielen Ausnahmen) gilt \(C(p, F) = pC(p, F)\).
Bemerkenswert ist, daß es sich hier um Bedingungen für die Untergruppe \(F(A)\) allein handelt.
Ferner werden notwendige und hinreichende Bedingungen für die Möglichkeit, \(F(A)\) als direkten Summanden abzuspalten, aufgestellt, die von der Struktur von \(F(A)\) und von \(A/F(A)\) abhängen.

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