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Ein Integralsatz über analytische Gebilde im Gebiete von mehreren komplexen Veränderlichen. (German) JFM 63.0308.03

Im Raume von n komplexen Veränderlichen z k =x k +ix n+k (k=1,...,n) werden für die Funktionen der 2n reellen Veränderlichen die Differentialquotienten nach z k und z ¯ k ausschließlich benutzt. (Siehe schon die grundlegende Arbeit des Verf.: Math. Ann. 97 (1926), 357-375; F. d. M. 52, 342 (JFM 52.0342.*)-343.)

Verf. beweist nun zuerst, daß die n-dimensionalen bzw. (2n-1)-dimensionalen Integrale über F·d(z 1 ,,z n ) und

𝛷d𝛹 α=1 n d(z α+1 ,,z α+n-1 ,z ¯ α+1 ,,z ¯ α+n-1 )

bei festgehaltenem Rande des Integrationsfeldes vom Wege unabhängig sind, wenn F bzw. 𝛷 und 𝛹 im Zwischengebiete sich regulär verhalten. (Die Indices der Differentiale sind mod n zu nehmen.) Die zweite Aussage enthält eine Verallgemeinerung des Cauchyschen Residuensatzes für den Raum der z 1 ,..., z n . Es sei eine abteilungsweise stetig differenzierbare, geschlossene, orientierbare Hyperfläche M 2n-1 von (2n-1) Dimensionen gegeben, die ihrerseits einen Bereich 𝔅 des 2n-dimensionalen Raumes umschließt. Im abgeschlossenen Bereich 𝔅 sei die Funktion 𝛷 regulär und 𝛹 meromorph. Das Volumenelement von 𝛹=0 sei dV 2n-2 und das von 𝛹 -1 =0 sei dW 2n-2 . (Allgemein ist das Volumenelement eines analytischen Gebildes G μ von 2μ reellen Dimensionen

dV 2μ =i 2 μ β 1 <β 2 <β μ n d(z β 1 ,z β 2 ,,z β μ ,z ¯ β 1 ,,z ¯ β μ ))·

Dann gilt

(1) M 2n-1 𝛷dlog𝛹 α=1 n d(z α+1 ,z α+2 ,,z α+n-1 ,z ¯ α+1 ,z ¯ α+2 ,,z ¯ α+n-1 )=(2πi)2 n-1 i n-1 (𝛷dV 2n-2 -𝛷dW 2n-2 )·

Sind 𝛷 und 𝛹 nur von z=z 1 abhängig, so erhalten wir

𝛷dlog𝛹=2πi(𝛷 0 -𝛷 ),

wobei 𝛷 0 (bzw. 𝛷 ) die Werte von 𝛷 an den Null- (bzw. Unendlichkeits)stellen von 𝛹.

Bei der Anwendung von (1) auf 2p-fach periodische Funktionen ergibt sich eine Analogie zu einem bekannten Liouvilleschen Satze: Der Inhalt (gemessen mit Hilfe des Volumenelementes dV 2n-2 ) der Mannigfaltigkeit im Periodenparallelotop, in welchem eine 2p-fach periodische Funktion den gleichen Wert annimmt, ist unabhängig von diesem Werte und ein ganzzahliges Vielfaches des angegebenen Volumens einer gewissen Jacobischen Funktion.