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On the maxima and minima of Bernoulli polynomials. (English) JFM 66.0319.04

M n und m n mögen Maximum bzw. Minimum des n-ten Bernoullischen Polynoms B n (x) für 0x1 bedeuten. Dann gilt für gerades n:

M 4h =B 4h (1 2)=(1-2 1-4h )|B 4h |;m 4h =B 4h (0)=-|B 4h |,M 4h+2 =B 4h+2 (0)=B 4h+2 ;m 4h+2 =B 4h+2 (1 2)=-(1-2 -1-4h )B 4h+2 ,

worin die B ν die Bernoullischen Zahlen in der üblichen Zählung B 6 =1 42 bedeuten. Schwieriger ist die Bestimmung von M n und m n für ungerade n=2k+1; es ist jedenfalls

M 2k+1 =-m 2k+1 =|B 2k+1 (r 2k )|,

worin r 2k die in 0,1 2 gelegene einfache Wurzel von B 2k bezeichnet. Setzt man θ=2π1 4-r 2k , so gilt für θ die Gleichung

sinθ=2 -2k cos2θ+3 -2k sin3θ4 -2k cos4θ-5 -2k sin5θ+,

die sich zur schrittweisen Näherung und Abschätzung eignet. Verf. beweist damit

1 4-2 -2k-1 π -1 <r 2k <1 4,

und daraus folgt die Abschätzung

M 2k+1 <2(2k+1)!(2π) -2k-1 ·

Eine Tabelle der exakten Werte von r 2k und M 2k+1 für 1k6 beschließt die Abhandlung.