×

The rationality problem for conic bundles. (English. Russian original) Zbl 1400.14040

Russ. Math. Surv. 73, No. 3, 375-456 (2018); translation from Usp. Mat. Nauk 73, No. 3, 3-88 (2018).
This is an expository paper on the rationality problem for conic bundles over surfaces.
According to the minimal model program, every uniruled variety is birational to a Mori fiber space. In this paper a \(\mathbb{Q}\)-conic bundle is a projective \(3\)-fold \(X\) with a Mori fiber space structure \(\pi:X\to S\) of relative dimension one.
This paper concerns the rationality question for \(\mathbb{Q}\)-conic bundles. It is known that any \(\mathbb{Q}\)-conic bundle has a standard model. There are 2 equivalent conjectures (1.2 and 1.3) for the rationality criteria of a standard conic bundle. One of them says that a standard conic bundle \(\pi:X\to S\) over a rational surface \(S\) with discriminant curve \(\Delta\subset S\) is rational if and only if \(|2K_S+\Delta|\neq \emptyset,\) and in the case \(p_a(\Delta)=6\), the Griffiths component \(J_G(X)\) of the intermediate Jacobian \(J(X)\) is trivial.
After giving basic definitions and general facts about conic bundles, \(\S 4\) introduces the Sarkisov program of decomposition of birational maps between Mori fiber spaces. \(\S 5\) discusses surface conic bundles over algebraically non-closed fields. \(\S 6\) and \(\S 7\) discusses about two important birational invariants, torsions in the middle cohomology groups and the intermediate Jacobian. \(\S 8\) collects examples of some special Sarkisov links in the category of conic bundles. In \(\S 9\), a proof of Conjecture 1.2 for conic bundles over minimal rational surfaces is given following Shokurov’s proof. In \(\S\S\) 10–13, techniques and results for \(\mathbb{Q}\)-conic bundles are discussed. In \(\S 14\), related results and open problems are discussed.
Reviewer: Chen Jiang (Tokyo)

MSC:

14E05 Rational and birational maps
14J30 \(3\)-folds
14E07 Birational automorphisms, Cremona group and generalizations
14E30 Minimal model program (Mori theory, extremal rays)
14J45 Fano varieties
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI arXiv

References:

[1] Ahmadinezhad, H.; Okada, T., Stable rationality of higher dimensional conic bundles, (201812016)
[2] Алексеев, В. А., Об условиях рациональности трехмерных многообразий с пучком поверхностей Дель-Пеццо степени, Матем. заметки, 41, 5, 724-730, (1987) · Zbl 0681.14021 · doi:10.1007/BF01159867
[3] Alexeev, V., Boundedness and, Internat. J. Math., 5, 6, 779-810, (1994) · Zbl 0838.14028 · doi:10.1142/S0129167X94000395
[4] Alexeev, V., General elephants of, Compositio Math., 91, 1, 91-116, (1994) · Zbl 0813.14028
[5] Alexeev, V.; Borisov, A., On the log discrepancies in toric Mori contractions, Proc. Amer. Math. Soc., 142, 11, 3687-3694, (2014) · Zbl 1305.14006 · doi:10.1090/S0002-9939-2014-12159-9
[6] Altman, A. B.; Kleiman, S. L., Foundations of the theory of Fano schemes, Compositio Math., 34, 1, 3-47, (1977) · Zbl 0414.14024
[7] Alzati, A.; Bertolini, M., On the rationality of Fano, Matematiche (Catania), 47, 1, 63-74, (1992) · Zbl 0787.14023
[8] Ando, T., On extremal rays of the higher dimensional varieties, Invent. Math., 81, 2, 347-357, (1985) · Zbl 0554.14001 · doi:10.1007/BF01389057
[9] Andreatta, M.; Wiśniewski, J. A., A view on contractions of higher dimensional varieties, Algebraic geometry, 62, 153-183, (1997) · Zbl 0948.14014
[10] Artin, M.; Mumford, D., Some elementary examples of unirational varieties which are not rational, Proc. Lond. Math. Soc. (3), 25, 75-95, (1972) · Zbl 0244.14017 · doi:10.1112/plms/s3-25.1.75
[11] Авилов, А. А., Существование стандартных моделей расслоений на коники над алгебраически незамкнутыми полями, Матем. сб., 205, 12, 3-16, (2014) · Zbl 1317.14091 · doi:10.4213/sm8403
[12] Beauville, A., Prym varieties and Schottky problem, Invent. Math., 41, 2, 149-196, (1977) · Zbl 0333.14013 · doi:10.1007/BF01418373
[13] Beauville, A., Variétés de Prym et jacobiennes intermédiaires, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), 10, 3, 309-391, (1977) · Zbl 0368.14018 · doi:10.24033/asens.1329
[14] Beauville, A., Les singularités du diviseur, Algebraic threefolds, 947, 190-208, (1982) · Zbl 0368.14018 · doi:10.1007/BFb0093588
[15] Beauville, A., Prym varieties: a survey, Theta functions — Bowdoin 1987, 49, 607-620, (1989) · Zbl 0736.14020 · doi:10.1090/pspum/049.1/1013156
[16] Beauville, A., Determinantal hypersurfaces, Michigan Math. J., 48, 39-64, (2000) · Zbl 1076.14534 · doi:10.1307/mmj/1030132707
[17] Beauville, A., A very general sextic double solid is not stably rational, Bull. Lond. Math. Soc., 48, 2, 321-324, (2016) · Zbl 1386.14184 · doi:10.1112/blms/bdv098
[18] Beauville, A.; Colliot-Thélène, J.-L.; Sansuc, J.-J.; Swinnerton-Dyer, P., Variétés stablement rationnelles non rationnelles, Ann. of Math. (2), 121, 2, 283-318, (1985) · Zbl 0589.14042 · doi:10.2307/1971174
[19] Beltrametti, M., On the Chow group and the intermediate Jacobian of a conic bundle, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 141, 331-351, (1985) · Zbl 0589.14008 · doi:10.1007/BF01763180
[20] Birkar, C., Singularities of linear systems and boundedness of Fano varieties, (2016)
[21] Birkar, C., Singularities on the base of a Fano type fibration, J. Reine Angew. Math., 2016, 715, 125-142, (2016) · Zbl 1348.14037 · doi:10.1515/crelle-2014-0033
[22] Birkar, C.; Cascini, P.; Hacon, C. D.; McKernan, J., Existence of minimal models for varieties of log general type, J. Amer. Math. Soc., 23, 2, 405-468, (2010) · Zbl 1210.14019 · doi:10.1090/S0894-0347-09-00649-3
[23] Blanc, J.; Lamy, S., Weak Fano threefolds obtained by blowing-up a space curve and construction of Sarkisov links, Proc. Lond. Math. Soc. (3), 105, 5, 1047-1075, (2012) · Zbl 1258.14015 · doi:10.1112/plms/pds023
[24] Богомолов, Ф. А., Группа Брауэра факторпространств линейных представлений, Изв. АН СССР. Сер. матем., 51, 3, 485-516, (1987) · Zbl 0679.14025 · doi:10.1070/IM1988v030n03ABEH001024
[25] Bogomolov, F.; Prokhorov, Yu., On stable conjugacy of finite subgroups of the plane Cremona group. I, Cent. Eur. J. Math., 11, 12, 2099-2105, (2013) · Zbl 1286.14016 · doi:10.2478/s11533-013-0314-9
[26] Böhning, C.; Bothmer, H.-C. Graf von, On stable rationality of some conic bundles and moduli spaces of Prym curves, Comment. Math. Helv., 93, 1, 133-155, (2018) · Zbl 1453.14045 · doi:10.4171/CMH/431
[27] Brown, G.; Corti, A.; Zucconi, F., Birational geometry of, The Fano conference, 235-275, (2004) · Zbl 1063.14019
[28] al., G. Brown et, Graded ring database
[29] Catanese, F.; Franciosi, M.; Hulek, K.; Reid, M., Embeddings of curves and surfaces, Nagoya Math. J., 154, 185-220, (1999) · Zbl 0933.14003 · doi:10.1017/S0027763000025381
[30] Чельцов, И. А., Расслоения на коники с большим дискриминантом, Изв. РАН. Сер. матем., 68, 2, 215-221, (2004) · Zbl 1078.14014 · doi:10.4213/im481
[31] Cheltsov, I., Birationally rigid del Pezzo fibrations, Manuscripta Math., 116, 4, 385-396, (2005) · Zbl 1076.14048 · doi:10.1007/s00229-004-0521-6
[32] Cheltsov, I., Points in projective spaces and applications, J. Differential Geom., 81, 3, 575-599, (2009) · Zbl 1230.14061 · doi:10.4310/jdg/1236604344
[33] Cheltsov, I.; Przyjalkowski, V.; Shramov, C., Which quartic double solids are rational?, (2015)
[34] Clemens, C. H., Applications of the theory of Prym varieties, Proceedings of the International congress of mathematicians, 415-421, (1975) · Zbl 0405.14017
[35] Clemens, C. H., Double solids, Adv. in Math., 47, 2, 107-230, (1983) · Zbl 0509.14045 · doi:10.1016/0001-8708(83)90025-7
[36] Clemens, C. H.; Griffiths, P. A., The intermediate Jacobian of the cubic threefold, Ann. of Math. (2), 95, 2, 281-356, (1972) · Zbl 0214.48302 · doi:10.2307/1970801
[37] Colliot-Thélène, J.-L.; Pirutka, A., Hypersurfaces quartiques de dimension 3: non-rationalité stable, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4), 49, 2, 371-397, (2016) · Zbl 1371.14028 · doi:10.24033/asens.2285
[38] Кольё-Телэн, Ж.-Л.; Пирютко, Е. В., Циклические накрытия, которые не являются стабильно рациональными, Изв. РАН. Сер. матем., 80, 4, 35-48, (2016) · Zbl 1375.14053 · doi:10.4213/im8429
[39] Colliot-Thélène, J.-L.; Sansuc, J.-J., The rationality problem for fields of invariants under linear algebraic groups (with special regards to the Brauer group), Algebraic groups and homogeneous spaces, 19, 113-186, (2007) · Zbl 1147.13002
[40] Conte, A.; Murre, J. P., On quartic threefolds with a double line. I, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A, 80, 3, 145-160, (1977) · Zbl 0353.14016
[41] Conte, A.; Murre, J. P., On quartic threefolds with a double line. II, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A, 80, 3, 161-175, (1977) · Zbl 0353.14016 · doi:10.1016/1385-7258(77)90065-8
[42] Coray, D. F.; Tsfasman, M. A., Arithmetic on singular Del Pezzo surfaces, Proc. Lond. Math. Soc. (3), 57, 1, 25-87, (1988) · Zbl 0653.14018 · doi:10.1112/plms/s3-57.1.25
[43] Corti, A., Factoring birational maps of threefolds after Sarkisov, J. Algebraic Geom., 4, 2, 223-254, (1995) · Zbl 0866.14007
[44] Corti, A., Del Pezzo surfaces over Dedekind schemes, Ann. of Math. (2), 144, 3, 641-683, (1996) · Zbl 0902.14026 · doi:10.2307/2118567
[45] Corti, A., Singularities of linear systems and, Explicit birational geometry of, 281, 259-312, (2000) · Zbl 0960.14017
[46] Cutkosky, S., Elementary contractions of Gorenstein threefolds, Math. Ann., 280, 3, 521-525, (1988) · Zbl 0616.14003 · doi:10.1007/BF01456342
[47] Debarre, O., Sur le problème de Torelli pour les variétés de Prym, Amer. J. Math., 111, 1, 111-134, (1989) · Zbl 0699.14052 · doi:10.2307/2374482
[48] Debarre, O., Sur le théorème de Torelli pour les solides doubles quartiques, Compositio Math., 73, 2, 161-187, (1990) · Zbl 0712.14003
[49] Debarre, O.; Iliev, A.; Manivel, L., On nodal prime Fano threefolds of degree 10, Sci. China Math., 54, 8, 1591-1609, (2011) · Zbl 1247.14043 · doi:10.1007/s11425-011-4182-0
[50] Debarre, O.; Iliev, A.; Manivel, L., On the period map for prime Fano threefolds of degree 10, J. Algebraic Geom., 21, 1, 21-59, (2012) · Zbl 1250.14029 · doi:10.1090/S1056-3911-2011-00594-8
[51] Долгачев, И. В., О рациональных поверхностях с пучком эллиптических кривых, Изв. АН СССР. Сер. матем., 30, 5, 1073-1100, (1966) · Zbl 0187.18702
[52] Dolgachev, I. V., Classical algebraic geometry. A modern view, (2012), Cambridge Univ. Press: Cambridge Univ. Press, Cambridge · Zbl 1252.14001 · doi:10.1017/CBO9781139084437
[53] Эндрюшка, С. Ю., Нерациональность общего многообразия Энриквеса, Матем. сб., 123(165), 2, 269-275, (1984) · Zbl 0589.14041 · doi:10.1070/SM1985v051n01ABEH002859
[54] Festi, D.; Luijk, R. van, Unirationality of del Pezzo surfaces of degree 2 over finite fields, Bull. Lond. Math. Soc., 48, 1, 135-140, (2016) · Zbl 1408.14156 · doi:10.1112/blms/bdv085
[55] Fujino, O., Applications of Kawamata’s positivity theorem, Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci., 75, 6, 75-79, (1999) · Zbl 0967.14012 · doi:10.3792/pjaa.75.75
[56] Graber, T.; Harris, J.; Starr, J., Families of rationally connected varieties, J. Amer. Math. Soc., 16, 1, 57-67, (2003) · Zbl 1092.14063 · doi:10.1090/S0894-0347-02-00402-2
[57] Гриненко, М. М., Бирациональные свойства пучков поверхностей Дель Пеццо степеней, Матем. сб., 191, 5, 17-38, (2000) · Zbl 1009.14002 · doi:10.4213/sm475
[58] Гриненко, М. М., О двойном конусе над поверхностью Веронезе, Изв. РАН. Сер. матем., 67, 3, 5-22, (2003) · Zbl 1082.14015 · doi:10.4213/im433
[59] Гриненко, М. М., Структуры Мори на трехмерном многообразии Фано индекса, Proc. Steklov Inst. Math., 246, 116-141, (2004) · Zbl 1120.14031
[60] Hacon, C. D.; McKernan, J., The Sarkisov program, J. Algebraic Geom., 22, 2, 389-405, (2013) · Zbl 1267.14024 · doi:10.1090/S1056-3911-2012-00599-2
[61] Hacon, C. D.; McKernan, J.; Xu, C., ACC for log canonical thresholds, Ann. of Math. (2), 180, 2, 523-571, (2014) · Zbl 1320.14023 · doi:10.4007/annals.2014.180.2.3
[62] Halphén, G., Sur les courbes planes du sixième degré à neuf points doubles, Bull. Soc. Math. France, 10, 162-172, (1882) · JFM 14.0580.02 · doi:10.24033/bsmf.243
[63] Hartshorne, R., Grad. Texts in Math., 52, (1977), Springer-Verlag: Springer-Verlag, New York–Heidelberg · Zbl 0367.14001 · doi:10.1007/978-1-4757-3849-0
[64] Hassett, B.; Kresch, A.; Tschinkel, Yu., Stable rationality and conic bundles, Math. Ann., 365, 3-4, 1201-1217, (2016) · Zbl 1353.14019 · doi:10.1007/s00208-015-1292-y
[65] Hayakawa, T., Blowing ups of, Publ. Res. Inst. Math. Sci., 35, 3, 515-570, (1999) · Zbl 0969.14008 · doi:10.2977/prims/1195143612
[66] Hayakawa, T., Blowing ups of, Publ. Res. Inst. Math. Sci., 36, 3, 423-456, (2000) · Zbl 1017.14006 · doi:10.2977/prims/1195142953
[67] Iliev, A.; Katzarkov, L.; Przyjalkowski, V., Double solids, categories and non-rationality, Proc. Edinb. Math. Soc. (2), 57, 1, 145-173, (2014) · Zbl 1303.14026 · doi:10.1017/S0013091513000898
[68] Исковских, В. А., Рациональные поверхности с пучком рациональных кривых, Матем. сб., 74(116), 4, 608-638, (1967) · Zbl 0181.24003 · doi:10.1070/SM1967v003n04ABEH002769
[69] Исковских, В. А., Рациональные поверхности с пучком рациональных кривых и с положительным квадратом канонического класса, Матем. сб., 83(125), 1-9, 90-119, (1970) · Zbl 0203.23702 · doi:10.1070/SM1970v012n01ABEH000912
[70] Исковских, В. А., Бирациональные свойства поверхности степени 4 в, Матем. сб., 88(130), 1-5, 31-37, (1972) · Zbl 0244.14005 · doi:10.1070/SM1972v017n01ABEH001489
[71] Исковских, В. А., Бирациональные автоморфизмы трехмерных алгебраических многообразий, J. Soviet Math., 12, 6, 159-236, (1979) · Zbl 0428.14017 · doi:10.1007/BF01084564
[72] Исковских, В. А., Минимальные модели рациональных поверхностей над произвольными полями, Изв. АН СССР. Сер. матем., 43, 1, 19-43, (1979) · Zbl 0427.14011 · doi:10.1070/IM1980v014n01ABEH001064
[73] Iskovskikh, V. A., On the rationality problem for conic bundles, Duke Math. J., 54, 2, 271-294, (1987) · Zbl 0629.14033 · doi:10.1215/S0012-7094-87-05416-0
[74] Исковских, В. А., К проблеме рациональности расслоений на коники, Матем. сб., 182, 1, 114-121, (1991) · Zbl 0776.14013 · doi:10.1070/SM1992v072n01ABEH001264
[75] Исковских, В. А., О проблеме рациональности для трехмерных алгебраических многообразий, расслоенных на поверхности Дель Пеццо, Proc. Steklov Inst. Math., 208, 128-138, (1995) · Zbl 0880.14023
[76] Исковских, В. А., О критерии рациональности для расслоений на коники, Матем. сб., 187, 7, 75-92, (1996) · Zbl 0922.14026 · doi:10.4213/sm145
[77] Исковских, В. А., Факторизация бирациональных отображений рациональных поверхностей с точки зрения теории Мори, УМН, 51, 4-310, 3-72, (1996) · Zbl 0914.14005 · doi:10.4213/rm994
[78] Исковских, В. А., Бирациональная жесткость гиперповерхностей Фано в рамках теории Мори, УМН, 56, 2-338, 3-86, (2001) · Zbl 0991.14010 · doi:10.4213/rm382
[79] Исковских, В. А., b-Дивизоры и функциональные алгебры по Шокурову, Proc. Steklov Inst. Math., 240, 8-20, (2003) · Zbl 1081.14022
[80] Iskovskikh, V. A., On the Noether–Fano inequalities, The Fano conference, 25-35, (2004) · Zbl 1062.14018
[81] Исковских, В. А.; Манин, Ю. И., Трехмерные квартики и контрпримеры к проблеме Люрота, Матем. сб., 86(128), 1-9, 140-166, (1971) · Zbl 0222.14009 · doi:10.1070/SM1971v015n01ABEH001536
[82] Iskovskikh, V. A.; Prokhorov, Yu. G., Fano varieties, Algebraic geometry V, 47, 1-247, (1999) · Zbl 0912.14013
[83] Исковских, В. А.; Пухликов, А. В., Многообразия Фано, J. Math. Sci. (N. Y.), 19, 4, 5-139, (2001) · Zbl 0917.14007 · doi:10.1007/BF02363913
[84] Исковских, В. А.; Шокуров, В. В., Бирациональные модели и перестройки, УМН, 60, 1-361, 29-98, (2005) · Zbl 1079.14023 · doi:10.4213/rm1388
[85] Jacobson, N., Finite-dimensional division algebras over fields, (1996), Springer-Verlag: Springer-Verlag, Berlin · Zbl 0874.16002 · doi:10.1007/978-3-642-02429-0
[86] Jahnke, P.; Peternell, T.; Radloff, I., Threefolds with big and nef anticanonical bundles. II, Cent. Eur. J. Math., 9, 3, 449-488, (2011) · Zbl 1250.14030 · doi:10.2478/s11533-011-0023-1
[87] Kachi, Y., Extremal contractions from, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), 24, 1, 63-131, (1997) · Zbl 0908.14002
[88] Kang, M.-C., The rationality problem of finite group actions, First international congress of Chinese mathematicians, 20, 211-218, (2001) · Zbl 1043.12005 · doi:10.1090/amsip/020/15
[89] Kantor, S., Die Typen der linearen Complexe rationaler Curven im, Amer. J. Math., 23, 1, 1-28, (1901) · JFM 32.0658.01 · doi:10.2307/2369693
[90] Kawamata, Y., Crepant blowing-up of, Ann. of Math. (2), 127, 1, 93-163, (1988) · Zbl 0651.14005 · doi:10.2307/1971417
[91] Kawamata, Y., Boundedness of, Proceedings of the international conference on algebra, 131, 439-445, (1992) · Zbl 0785.14024 · doi:10.1090/conm/131.3/1175897
[92] Kawamata, Y., The minimal discrepancy coefficients of terminal singularities in dimension three, Изв. РАН. Сер. матем., 56, 1, 201-203, (1992) · Zbl 0785.14023 · doi:10.1070/IM1993v040n01ABEH001862
[93] Kawamata, Y., Divisorial contractions to, Higher dimensional complex varieties, 241-246, (1996) · Zbl 0894.14019
[94] Kawamata, Y.; Matsuda, K.; Matsuki, K., Introduction to the minimal model problem, Algebraic geometry, 10, 283-360, (1987) · Zbl 0672.14006
[95] Kollár, J., Higher direct images of dualizing sheaves. I, Ann. of Math. (2), 123, 1, 11-42, (1986) · Zbl 0598.14015 · doi:10.2307/1971351
[96] Kollár, J., Flops, Nagoya Math. J., 113, 15-36, (1989) · Zbl 0645.14004 · doi:10.1017/S0027763000001240
[97] Kollár, J., Nonrational hypersurfaces, J. Amer. Math. Soc., 8, 1, 241-249, (1995) · Zbl 0839.14031 · doi:10.1090/S0894-0347-1995-1273416-8
[98] Kollár, J., Polynomials with integral coefficients, equivalent to a given polynomial, Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc., 3, 17-27, (1997) · Zbl 0867.11047 · doi:10.1090/S1079-6762-97-00019-X
[99] Kollár, J., Unirationality of cubic hypersurfaces, J. Inst. Math. Jussieu, 1, 3, 467-476, (2002) · Zbl 1077.14556 · doi:10.1017/S1474748002000117
[100] Kollár, J., Conic bundles that are not birational to numerical Calabi–Yau pairs, Épijournal Geom. Algébrique, 1, (2017)
[101] Kollár, J.; Mella, M., Quadratic families of elliptic curves and unirationality of degree, Amer. J. Math., 139, 4, 915-936, (2017) · Zbl 1388.14096 · doi:10.1353/ajm.2017.0024
[102] Kollár, J.; Miyaoka, Y.; Mori, S., Rationally connected varieties, J. Algebraic Geom., 1, 3, 429-448, (1992) · Zbl 0780.14026
[103] Kollár, J.; Mori, S., Classification of three-dimensional flips, J. Amer. Math. Soc., 5, 3, 533-703, (1992) · Zbl 0773.14004 · doi:10.1090/S0894-0347-1992-1149195-9
[104] Kollár, J.; Mori, S., Cambridge Tracts in Math., 134, (1998), Cambridge Univ. Press: Cambridge Univ. Press, Cambridge · Zbl 0926.14003 · doi:10.1017/CBO9780511662560
[105] Kollár, J.; Smith, K. E.; Corti, A., Cambridge Stud. Adv. Math., 92, (2004), Cambridge Univ. Press: Cambridge Univ. Press, Cambridge · Zbl 1060.14073 · doi:10.1017/CBO9780511734991
[106] Krylov, I., Birational geometry of del Pezzo fibrations with terminal quotient singularities, (2016) · Zbl 1401.14075
[107] Krylov, I., Rationally connected non-Fano type varieties, Eur. J. Math., 4, 1, 335-355, (2018) · Zbl 1408.14062 · doi:10.1007/s40879-017-0201-1
[108] Kunyavskij, B. È.; Skorobogatov, A. N.; Tsfasman, M. A., Del Pezzo surfaces of degree four, Mém. Soc. Math. France (N. S.), 37, 1-113, (1989) · Zbl 0705.14039 · doi:10.24033/msmf.338
[109] Кузнецов, А. Г., О многообразиях Кюхле с числом Пикара, большим, Изв. РАН. Сер. матем., 79, 4, 57-70, (2015) · Zbl 1342.14087 · doi:10.4213/im8339
[110] Kuznetsov, A. G.; Prokhorov, Yu. G.; Shramov, C. A., Hilbert schemes of lines and conics and automorphism groups of Fano threefolds, Jpn. J. Math., 13, 1, 109-185, (2018) · Zbl 1406.14031 · doi:10.1007/s11537-017-1714-6
[111] Loginov, K., Standard models of degree, (2017)
[112] Манин, Ю. И., Рациональные поверхности над совершенными полями. II, Матем. сб., 72(114), 2, 161-192, (1967) · Zbl 0182.23701 · doi:10.1070/SM1967v001n02ABEH001972
[113] Манин, Ю. И., North-Holland Math. Library, 4, (1972), Наука: Наука, М. · Zbl 0255.14002
[114] Masiewicki, L., Universal properties on Prym varieties with an application to algebraic curves of genus five, Trans. Amer. Math. Soc., 222, 221-240, (1976) · Zbl 0333.14012 · doi:10.2307/1997667
[115] Matsuki, K., Universitext, (2002), Springer-Verlag: Springer-Verlag, New York · Zbl 0988.14007 · doi:10.1007/978-1-4757-5602-9
[116] Mella, M., On the unirationality of, (2014)
[117] Меркурьев, А. С., О символе норменного вычета степени 2, Докл. АН СССР, 261, 3, 542-547, (1981) · Zbl 0496.16020
[118] Millevoi, T., Sulla classificazione cremoniana delle congruenze di curve razionali dello spazio, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 30, 194-214, (1960) · Zbl 0101.13601
[119] Miyanishi, M., Algebraic methods in the theory of algebraic threefolds – surrounding the works of Iskovskikh, Mori and Sarkisov, Algebraic varieties and analytic varieties, 1, 69-99, (1983) · Zbl 0537.14027
[120] Miyanishi, M.; Zhang, D.-Q., Gorenstein log del Pezzo surfaces of rank one, J. Algebra, 118, 1, 63-84, (1988) · Zbl 0664.14019 · doi:10.1016/0021-8693(88)90048-8
[121] Miyaoka, Y.; Mori, S., A numerical criterion for uniruledness, Ann. of Math. (2), 124, 1, 65-69, (1986) · Zbl 0606.14030 · doi:10.2307/1971387
[122] Mori, S., Threefolds whose canonical bundles are not numerically effective, Ann. of Math. (2), 116, 1, 133-176, (1982) · Zbl 0557.14021 · doi:10.2307/2007050
[123] Mori, S., Flip theorem and the existence of minimal models for, J. Amer. Math. Soc., 1, 1, 117-253, (1988) · Zbl 0649.14023 · doi:10.2307/1990969
[124] Mori, S.; Mukai, S., Classification of Fano, Manuscripta Math., 36, 2, 147-162, (198182) · Zbl 0478.14033 · doi:10.1007/BF01170131
[125] Mori, S.; Prokhorov, Yu., On, Publ. Res. Inst. Math. Sci., 44, 2, 315-369, (2008) · Zbl 1151.14029 · doi:10.2977/prims/1210167329
[126] Mori, S.; Prokhorov, Yu., On, Publ. Res. Inst. Math. Sci., 44, 3, 955-971, (2008) · Zbl 1162.14011 · doi:10.2977/prims/1216238307
[127] Mori, S.; Prokhorov, Yu., On, Publ. Res. Inst. Math. Sci., 45, 3, 787-810, (2009) · Zbl 1182.14040 · doi:10.2977/prims/1249478965
[128] Mori, S.; Prokhorov, Yu., Threefold extremal contractions of type (IA), Kyoto J. Math., 51, 2, 393-438, (2011) · Zbl 1230.14017 · doi:10.1215/21562261-1214393
[129] Mori, S.; Prokhorov, Yu., Proc. Edinb. Math. Soc. (2), 57, 1, 231-252, (2014) · Zbl 1296.14030 · doi:10.1017/S0013091513000850
[130] Mori, S.; Prokhorov, Yu. G., Threefold extremal contractions of type (IIA). I, Изв. РАН. Сер. матем., 80, 5, 77-102, (2016) · Zbl 1359.14037 · doi:10.4213/im8516
[131] Mori, S.; Prokhorov, Yu. G., Threefold extremal contractions of type (IIA). II, Geometry and physics, (2017) · Zbl 1359.14037
[132] Morrison, D. R., The birational geometry of surfaces with rational double points, Math. Ann., 271, 3, 415-438, (1985) · Zbl 0539.14008 · doi:10.1007/BF01456077
[133] Mumford, D., Theta characteristics of an algebraic curve, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), 4, 2, 181-192, (1971) · Zbl 0216.05904 · doi:10.24033/asens.1209
[134] Mumford, D., Prym varieties. I, Contributions to analysis (a collection of papers dedicated to Lipman Bers), 325-350, (1974) · Zbl 0299.14018
[135] Панин, И. А., Рациональность связок коник с кривой вырождения степени пять и четной тэта-характеристикой, J. Soviet Math., 103, 4, 100-105, (1980) · Zbl 0536.14035 · doi:10.1007/BF01094378
[136] Park, J., Birational maps of del Pezzo fibrations, J. Reine Angew. Math., 2001, 538, 213-221, (2001) · Zbl 0973.14005 · doi:10.1515/crll.2001.066
[137] Park, J., A note on del Pezzo fibrations of degree, Comm. Algebra, 31, 12, 5755-5768, (2003) · Zbl 1035.14003 · doi:10.1081/AGB-120024852
[138] Botta, L. Picco; Verra, A., The non rationality of the generic Enriques’ threefold, Compositio Math., 48, 2, 167-184, (1983) · Zbl 0508.14032
[139] Piontkowski, J., Theta-characteristics on singular curves, J. Lond. Math. Soc. (2), 75, 2, 479-494, (2007) · Zbl 1122.14026 · doi:10.1112/jlms/jdm021
[140] Попов, В. Л., Конечные подгруппы групп диффеоморфизмов, Proc. Steklov Inst. Math., 289, 235-241, (2015) · Zbl 1337.57066 · doi:10.1134/S0371968515020144
[141] Попов, В. Л., Борелевские подгруппы групп Кремоны, Матем. заметки, 102, 1, 72-80, (2017) · Zbl 1427.14035 · doi:10.4213/mzm11562
[142] Прохоров, Ю. Г., О дополняемости канонического дивизора для расслоений Мори на коники, Матем. сб., 188, 11, 99-120, (1997) · Zbl 0921.14025 · doi:10.4213/sm277
[143] Prokhorov, Yu. G., On extremal contractions from threefolds to surfaces: the case of one non-Gorenstein point, Birational algebraic geometry, 207, 119-141, (1997) · Zbl 0911.14002 · doi:10.1090/conm/207/02724
[144] Prokhorov, Yu. G., Mori conic bundles with a reduced log-terminal boundary, J. Math. Sci. (N. Y.), 94, 1, 1051-1059, (1999) · Zbl 0942.14020 · doi:10.1007/BF02367246
[145] Prokhorov, Yu. G., On extremal contractions from threefolds to surfaces: the case of one non-Gorenstein point and a nonsingular base surface, J. Math. Sci. (N. Y.), 95, 1, 1986-1995, (1999) · Zbl 0948.14012 · doi:10.1007/BF02169156
[146] Прохоров, Ю. Г., Степень трехмерных многообразий Фано с каноническими горенштейновыми особенностями, Матем. сб., 196, 1, 81-122, (2005) · Zbl 1081.14058 · doi:10.4213/sm1262
[147] Prokhorov, Yu., Gap conjecture for, J. Math. Sci. Univ. Tokyo, 15, 4, 449-459, (2008) · Zbl 1185.14004
[148] Prokhorov, Yu. G., Fields of invariants of finite linear groups, Cohomological and geometric approaches to rationality problems, 282, 245-273, (2010) · Zbl 1204.14007 · doi:10.1007/978-0-8176-4934-0_10
[149] Prokhorov, Yu., On stable conjugacy of finite subgroups of the plane Cremona group. II, Michigan Math. J., 64, 2, 293-318, (2015) · Zbl 1386.14067 · doi:10.1307/mmj/1434731925
[150] Прохоров, Ю. Г., O трехмерных, Изв. РАН. Сер. матем., 79, 4, 159-174, (2015) · Zbl 1331.14019 · doi:10.4213/im8349
[151] Прохоров, Ю. Г., Рациональные поверхности, Лекц. курсы НОЦ, 24, 3-76, (2015), МИАН: МИАН, М. · doi:10.4213/lkn24
[152] Прохоров, Ю. Г., Трехмерные многообразия, Proc. Steklov Inst. Math., 294, 152-166, (2016) · Zbl 1360.14111 · doi:10.1134/S0371968516030092
[153] Прохоров, Ю. Г., О числе особых точек трехмерных терминальных факториальных многообразий Фано, Матем. заметки, 101, 6, 949-954, (2017) · Zbl 1391.14082 · doi:10.4213/mzm11486
[154] Prokhorov, Yu.; Reid, M., On, Minimal models and extremal rays, 70, 397-420, (2016) · Zbl 1372.14033
[155] Prokhorov, Yu. G.; Shokurov, V. V., Towards the second main theorem on complements, J. Algebraic Geom., 18, 1, 151-199, (2009) · Zbl 1159.14020 · doi:10.1090/S1056-3911-08-00498-0
[156] Prokhorov, Yu.; Shramov, C., Jordan property for Cremona groups, Amer. J. Math., 138, 2, 403-418, (2016) · Zbl 1343.14010 · doi:10.1353/ajm.2016.0017
[157] Prokhorov, Yu.; Shramov, C., Finite groups of birational selfmaps of threefolds, Math. Res. Lett., (201712016) · Zbl 1423.14094
[158] Prokhorov, Yu.; Shramov, C., Math. Nachr., 291, 8-9, 1374-1389, (2018) · Zbl 1423.14099 · doi:10.1002/mana.201700030
[159] Prokhorov, Yu.; Shramov, C., Jordan constant for Cremona group of rank, Mosc. Math. J., 17, 3, 457-509, (2017)
[160] Пржиялковский, В. В.; Чельцов, И. А.; Шрамов, К. А., Гиперэллиптические и тригональные трехмерные многообразия Фано, Изв. РАН. Сер. матем., 69, 2, 145-204, (2005) · Zbl 1081.14059 · doi:10.4213/im637
[161] Пржиялковский, В. В.; Шрамов, К. А., Двойные квадрики с большими группами автоморфизмов, Proc. Steklov Inst. Math., 294, 167-190, (2016) · Zbl 1375.14146 · doi:10.1134/S0371968516030109
[162] Пухликов, А. В., Бирациональные автоморфизмы трехмерных алгебраических многообразий с пучком поверхностей дель Пеццо, Изв. РАН. Сер. матем., 62, 1, 123-164, (1998) · Zbl 0948.14008 · doi:10.4213/im188
[163] Пухликов, А. В., Послойные бирациональные соответствия, Матем. заметки, 68, 1, 120-130, (2000) · Zbl 1042.14003 · doi:10.4213/mzm926
[164] Pukhlikov, A. V., Essentials of the method of maximal singularities, Explicit birational geometry of, 281, 73-100, (2000) · Zbl 0961.14008
[165] Pukhlikov, A., Math. Surveys Monogr., 190, (2013), Amer. Math. Soc.: Amer. Math. Soc., Providence, RI · Zbl 1297.14001 · doi:10.1090/surv/190
[166] Пухликов, А. В., Бирациональная геометрия алгебраических многообразий, расслоенных на двойные пространства Фано, Изв. РАН. Сер. матем., 81, 3, 160-188, (2017) · Zbl 1452.14044 · doi:10.4213/im8493
[167] Recillas, S., Jacobians of curves with, Bol. Soc. Mat. Mexicana (2), 19, 1, 9-13, (1974) · Zbl 0343.14012
[168] Reid, M., Surfaces of small degree, Math. Ann., 275, 1, 71-80, (1986) · Zbl 0579.14017 · doi:10.1007/BF01458584
[169] Reid, M., Young person’s guide to canonical singularities, Algebraic geometry – Bowdoin, 1985, 46, 345-414, (1987) · Zbl 0634.14003 · doi:10.1090/pspum/046.1/927963
[170] Reid, M., Birational geometry of, (1991)
[171] Salgado, C.; Testa, D.; Várilly-Alvarado, A., On the unirationality of del Pezzo surfaces of degree, J. Lond. Math. Soc. (2), 90, 1, 121-139, (2014) · Zbl 1319.14016 · doi:10.1112/jlms/jdu014
[172] Saltman, D. J., Noether’s problem over an algebraically closed field, Invent. Math., 77, 1, 71-84, (1984) · Zbl 0546.14014 · doi:10.1007/BF01389135
[173] Саркисов, В. Г., Бирациональные автоморфизмы расслоений коник, Изв. АН СССР. Сер. матем., 44, 4, 918-945, (1980) · Zbl 0466.14012 · doi:10.1070/IM1981v017n01ABEH001326
[174] Саркисов, В. Г., О структурах расслоений на коники, Изв. АН СССР. Сер. матем., 46, 2, 371-408, (1982) · Zbl 0593.14034 · doi:10.1070/IM1983v020n02ABEH001354
[175] Саркисов, В. Г., Классификация бирациональных автоморфизмов расслоений на коники. I. Присоединенные циклы, (1987)
[176] Sarkisov, V. G., Birational maps of standard Q-Fano fiberings, (1989)
[177] Шафаревич, И. Р., О проблеме Люрота, Proc. Steklov Inst. Math., 183, 199-204, (1990) · Zbl 0731.14035
[178] Shepherd-Barron, N. I., Stably rational irrational varieties, The Fano conference, 693-700, (2004) · Zbl 1067.14051
[179] Shokurov, V. V., Distinguishing Prymians from Jacobians, Invent. Math., 65, 2, 209-219, (198182) · Zbl 0486.14007 · doi:10.1007/BF01389011
[180] Шокуров, В. В., Многообразия Прима: теория и приложения, Изв. АН СССР. Сер. матем., 47, 4, 785-855, (1983) · Zbl 0572.14025 · doi:10.1070/IM1984v023n01ABEH001459
[181] Шокуров, В. В., Теорема о необращении в нуль, Изв. АН СССР. Сер. матем., 49, 3, 635-651, (1985) · Zbl 0605.14006 · doi:10.1070/IM1986v026n03ABEH001160
[182] Шокуров, В. В., Трехмерные логперестройки, Изв. РАН. Сер. матем., 56, 1, 105-203, (1992) · Zbl 0785.14023 · doi:10.1070/IM1993v040n01ABEH001862
[183] Shokurov, V. V., Prelimiting flips, Proc. Steklov Inst. Math., 240, 82-219, (2003) · Zbl 1082.14019
[184] Shokurov, V. V., Log adjunction: effectiveness and positivity, (2013)
[185] Шокуров, В. В., Критерий полуобильности, Изв. РАН. Сер. матем., 81, 4, 167-230, (2017) · Zbl 1390.14031 · doi:10.4213/im8438
[186] Shokurov, V. V.; Choi, S. R., Geography of log models: theory and applications, Cent. Eur. J. Math., 9, 3, 489-534, (2011) · Zbl 1234.14014 · doi:10.2478/s11533-011-0013-3
[187] Шрамов, К. А., К вопросу рациональности неособых трехмерных многообразий с пучком поверхностей дель Пеццо степени, Матем. сб., 197, 1, 133-144, (2006) · Zbl 1134.14310 · doi:10.4213/sm1498
[188] Шрамов, К. А., Обрыв возрастающих цепочек в множестве канонических порогов торических многообразий, Матем. сб., 197, 4, 151-160, (2006) · Zbl 1134.14312 · doi:10.4213/sm1549
[189] Соболев, И. В., Бирациональные автоморфизмы одного класса многообразий, расслоенных на кубические поверхности, Изв. РАН. Сер. матем., 66, 1, 203-224, (2002) · Zbl 1061.14015 · doi:10.4213/im377
[190] Степанов, Д. А., Гладкие трехмерные канонические пороги, Матем. заметки, 90, 2, 285-299, (2011) · Zbl 1237.14028 · doi:10.4213/mzm8713
[191] Totaro, B., Hypersurfaces that are not stably rational, J. Amer. Math. Soc., 29, 3, 883-891, (2016) · Zbl 1376.14017 · doi:10.1090/jams/840
[192] Трегуб, С. Л., Конструкция бирационального изоморфизма трехмерной кубики и многообразия Фано первого рода с, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1 Матем. Мех., 40, 6, 99-101, (1985) · Zbl 0598.14033
[193] Трегуб, С. Л., О расслоениях на коники, бирационльно эквивалентных трехмерной кубике, УМН, 45, 5-275, 195-196, (1990) · Zbl 0726.14011 · doi:10.1070/RM1990v045n05ABEH002655
[194] Trepalin, A. S., Rationality of the quotient of, Cent. Eur. J. Math., 12, 2, 229-239, (2014) · Zbl 1288.14009 · doi:10.2478/s11533-013-0340-7
[195] Trepalin, A., Quotients of conic bundles, Transform. Groups, 21, 1, 275-295, (2016) · Zbl 1375.14123 · doi:10.1007/s00031-015-9342-9
[196] Тюрин, А. Н., Геометрия поверхности Фано неособой кубики, Изв. АН СССР. Сер. матем., 35, 3, 498-529, (1971) · Zbl 0215.08201 · doi:10.1070/IM1971v005n03ABEH001073
[197] Тюрин, А. Н., Пять лекций о трехмерных многообразиях, УМН, 27, 5-167, 3-50, (1972) · Zbl 0256.14019 · doi:10.1070/RM1972v027n05ABEH001384
[198] Тюрин, А. Н., О пересечении квадрик, УМН, 30, 6-186, 51-99, (1975) · Zbl 0328.14014 · doi:10.1070/RM1975v030n06ABEH001530
[199] Тюрин, А. Н., Об инварианте связки квадрик, Изв. АН СССР. Сер. матем., 39, 1, 23-27, (1975) · Zbl 0324.14002 · doi:10.1070/IM1975v009n01ABEH001471
[200] Тюрин, А. Н., Средний якобиан трехмерных многообразий, J. Soviet Math., 12, 6, 5-57, (1979) · Zbl 0428.14015 · doi:10.1007/BF01084562
[201] Varley, R., Weddle’s surfaces, Humbert’s curves, and a certain, Amer. J. Math., 108, 4, 931-951, (1986) · Zbl 0604.14031 · doi:10.2307/2374519
[202] Voisin, C., Sur la jacobienne intermédiaire du double solide d’indice deux, Duke Math. J., 57, 2, 629-646, (1988) · Zbl 0698.14049 · doi:10.1215/S0012-7094-88-05728-6
[203] Voisin, C., Unirational threefolds with no universal codimension, Invent. Math., 201, 1, 207-237, (2015) · Zbl 1327.14223 · doi:10.1007/s00222-014-0551-y
[204] Воронович, И. И.; Янчевский, В. И., Рациональные поля разложения простых алгебр и унирациональность расслоений на коники, Докл. АН БССР, 30, 4, 293-296, (1986) · Zbl 0614.14019
[205] Янчевский, В. И., Докл. АН БССР, 29, 12, 1061-1064, (1985) · Zbl 0609.14030
[206] Yanchevskiĭ, V. I., Astérisque, 209, 311-320, (1992), Soc. Math. France: Soc. Math. France, Paris · Zbl 0820.14035
[207] Yasinsky, E., Subgroups of odd order in the real plane Cremona group, J. Algebra, 461, 1, 87-120, (2016) · Zbl 1349.14054 · doi:10.1016/j.jalgebra.2016.04.019
[208] Yasinsky, E., The Jordan constant for Cremona group of rank, Bull. Korean Math. Soc., 54, 5, 1859-1871, (2017) · Zbl 1428.14024 · doi:10.4134/BKMS.b160810
[209] Загорский, А. А., О трехмерных конических расслоениях, Матем. заметки, 21, 6, 745-758, (1977) · Zbl 0399.14026 · doi:10.1007/BF01410168
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.