Linear transformations in Hilbert space and their applications to analysis. (English) Zbl 0005.40003

Stone, Marshall Harvey

American Mathematical Society Colloquium Publications. 15. New York: American Mathematical Society (AMS). viii, 622 p. (1932).

Die von Hilbert geschaffene Theorie der bilinearen Formen von unendlich vielen unabhängigen Veränderlichen und der zugehörigen linearen Transformationen des „Hilbertschen“ Raumes hat in dem bekannten Enzyklopädieartikel von Hellinger und Toeplitz eine sicher noch für lange Zeit grundlegende Darstellung gefunden, soweit die beschränkten Formen in Frage kommen. Seit der Drucklegung jenes Artikels hat jedoch die allgemeine Theorie einen erheblichen Fortschritt gemacht, indem es – vor allem Herrn J. von Neumann – gelang, die Hilbertschen Resultate auch auf weite Klassen nicht beschränkter Formen auszudehnen und damit wichtige Anwendungen in Analysis und Physik einzubeziehen. Das Gelingen beruht bei Neumann technisch weitgehend auf der abstrakt-symbolischen Darstellungsweise für die Formen und dem direkten Hantieren mit Operatoren statt mit der Koordinatendarstellung durch unendlich viele Veränderliche. Inhaltlich entscheidend war die Entdeckung des Begriffes der maximalen bzw. „hypermaximalen“-Erweiterung eines zunächst nur in einem gewissen Bereiche definierten Operators.
Nun folgt hier ein recht umfassendes und durchaus selbständiges Werk von Stone, welches sich im wesentlichen die Aufgabe stellt, möglichst vollständig und übersichtlich den heutigen Stand der Theorie der nicht beschränkten Operatoren darzulegen. Stone hat an der Entwicklung der Theorie selbst einen sehr bedeutenden Anteil. Unabhängig von Neumann hatte er den entscheidenden Begriff der selbstadjungierten (bei Neumann hypermaximalen) Transformationen erkannt und im Anschluß an Stieltjes-Carlemansche Gedanken die Hilbertsche Spektraltheorie auf diese Transformationen übertragen.
Das vorliegende Buch ist teilweise eine Ausführung der früheren mehr skizzenhaften diesbezüglichen Publikationen des Verf., schlägt aber auch sonst in vielen Einzelheiten trotz des durchgehenden Neumannschen Einflusses eigene Wege ein. Auch Stone bedient sich der abstrakten Darstellungsweise. Er entwickelt vom Begriffe des Hilbertschen Raumes beginnend, in 9 Kapiteln und ohne Voraussetzungen über beschränkte Formen, die ganze Theorie. Dabei steht naturgemäß die Spektralzerlegung der selbstadjungierten Formen im Mittelpunkt, und es wird im übrigen das Problem der Charakterisierung aller selbstadjungierter Operatoren gelöst.
Ein erheblicher Teil des Werkes ist Anwendungen auf Integraltransformationen, Differentialoperatoren, Jacobische Formen, Momentenproblem usw. gewidmet. Anwendungen auf Physik sind mit Rücksicht auf die Raumbeschränkung weggeblieben.
Die Schreibweise ist ausführlich, sehr sorgfältig, dabei frisch und anziehend; trotz der abstrakten Form bleibt im Grunde der Blick aufs Konkrete gerichtet. Jedoch bedingt das Streben nach Vollständigkeit naturgemäß einen etwas schleppenden Gang der Darstellung. Da die Entwicklung der Theorie noch im Fluß ist, kann Stones Werk keinen abschließenden Charakter tragen. Es wird aber zweifellos zur Verbreitung der Kenntnis dieses neuen Gebietes und zur Anregung wissenschaftlichen Fortschrittes erheblich beitragen.

Reviewer: R. Courant (Göttingen)

MSC:

47-02	Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to operator theory
46-02	Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to functional analysis

Keywords:

self-adjoint operators; Hilbert spaces; linear transformations