×

Gestaltliches über die Partialsummen und ihre Mittelwerte bei der Fourierreihe und der Potenzreihe. (German) Zbl 0006.34503


Keywords:

series
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI

References:

[1] Mit der Unterklasse von positiven konvexen Funktionen f (x), für welche noch weiter die Symmetrieeigenschaft f (f ({\(\pi\)}-x) = f (x) besteht, möchte ich mich an anderer Stelle gesondert beschäftigen.
[2] Die Sätze dieser Note sind für die Cesàromittel formuliert und für sie bewiesen. Sie gelten aber fast ausnahmslos für die sog. Hölderschen Mittelwerte. Eben deswegen spreche ich fast immer von den ”arithmetischen Mittelwerten”, oder kurz ”Mittelwerten” einer Reihe und gebrauche den Ausdruck ”Cesàromittel” nur dann, wenn ich die betreffende Behauptung bisher nur für diese Mittelwerte beweisen konnte. I. B. auf den Übergang zu den Hölderschen Mittelwerten von den Cesàroschen verweise ich auf die Arbeit von Herrn J. Schur: Über die Äquivalenz der Cesàrosehen und Hölderschen Mittelwerte, Math. Annalen Bd. LXXIV (1913), S. 447 bis 458.
[3] Bei der Bildung der arithmetischen Mittelwerte denken wir uns die Sinusreihe (10) immer als vollständige Fourierreihe 0 + (0 {\(\cdot\)} cos x + b1 sin x) + ... + (0 {\(\cdot\)} cos n x + bn sin n x) + ... geschrieben, so daß Sn(3) (x) = n (n + 1) (n + 2) b1 sin x + ... + 1 {\(\cdot\)} 2 {\(\cdot\)} 3 bn sin n x/(n + 1) (n + 2) (n + 3).
[4] Natürlich S0(3) (x) = 0 ausgenommen.
[5] Beweis auf Grund der Positivität der Sn(3) (x) der Reihe (36) in der Nr. 8 vorliegender Arbeit. – Ich bemerke hier, daß die Ungleichung 0 < Sn3) (x) M sich in interessanter Weise verschärfen läßt mit Hilfe der Sn(3) (x) der Sinusreihe 1 = 4/{\(\pi\)} sin (2 v - 1)x/2 v -1. Die Sn(1) (x) dieser Reihe hat besonders Herr H. S. Carslaw genauer untersucht;. sein INtroduction to the Theory of Fourier’s Series and Integrals, third Edition, London (1930), für die Sn(1) (x insbesondere die interessante Figur 37 auf S. 309.
[6] : Vorzeichenseigenschaften der Abschnitte einiger physikalisch bedentsamer Reihen, Monatshefte für Math. u. Phys., Bd. XXXIX (1932), S. 321 bis 344. Es ist dies der erste allgemeine Satz von diesem Typus, der für die Fouriersche Sinusreihe einer in 0 < x < {\(\pi\)} positiven und konvexen Funktion aufgestellt wurde.
[7] Während also - wie bekannt - die die gewöhnlichen Partialsummen y = Sn(0) (x) repräsentierenden Kurven, mit wachsendem n, sich immer mehr und mehr um die Kurve y = f (x) herumschlängeln, liegen schon die Mittelkurven orster Ordnung y = Sn(1) (x unterhalb der Kurve y = f (x).
[8] Es ist bemerkenswert, daß, durch dreimalige Ausgleichung durch arithmetische Mittelbildung aus den Partialsummen s0 (x), s1 (x), ... der Fourierschen Sinusreihe konvexe Mittelkurven entstehen, wenn die dargestellte Kurve positiv und (von oben) konvex ist im intervalle 0 < x < {\(\pi\)}.
[9] S. das Beispiel der schiefen geraden Linie in Nr. 4 bis 6.
[10] Jackson, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (1911)
[11] Gronwall, Math. Annalen 72 pp 228– (1912)
[12] Monatshefte für Math. pp 305– (1928)
[13] Fejér, Journal für die reine und angewandte Math. 142 pp 165– (1912)
[14] Für b = {\(\pi\)}/2 und a 0 geht dieses Beispiel in das erste über.
[15] Blaschke, Math. Annalen 77 pp 277– (1916)
[16] Frank, Math. Annalen pp 301– (1916)
[17] Rogosinski, Math. Zeitschrift 35 pp 93– (1932)
[18] Ist die (etwa monoton zunehmende) Funktion f (x) nicht identisch konstant im ganzen Intervalle 0 x {\(\pi\)}, so sind die Sn(3) (x) im Intervalle 0 x {\(\pi\)} sogar ”im strengeren Sinne” monoton, d. h. es ist immer Sn(3) (x1) < Sn (3) (x2), wenn 0 x1 < x2 {\(\pi\)}. (S0(3) (x) a0 ist natürlich ausgenommen.) Dies folgt leicht aus dem Umstande, daß jetzt (für n 1) Sn(3) (x) konst. unmöglich ist, z. B. weil sicher a1 0.
[19] D. h. f (z1) f (z2), wenn z1 z2, |z1|, |z2| < 1.
[20] Im Endlichen gelegen, oder auch nicht.
[21] Fejér, Reudiconti di Palermo (1914)
[22] Ich bemerke beiläufig, daß aus (47) folgt, daß die Reihe cosn{\(\theta\)} und sinn {\(\theta\)} das Cauchysche Produkt der beiden Reihen 1 + 2 cosn {\(\theta\)} und sinn {\(\theta\)} ist.
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.