The theory of group representations. (English) Zbl 0022.11807

Murnaghan, Francis D.

Baltimore: Johns Hopkins Press. xi, 369 p. (1938).

Das schön ausgestattete und billige Buch ist geweiht “to the Glory of God, Honor of Ireland and Fame of America”. Den Hauptgegenstand bilden die Darstellungen der allgemeinen linearen Gruppen, der orthogonalen Gruppen und der zweiwertigen Spin-Darstellungen der Rotationsgruppen. Um dieses Ziel zu erreichen, wird zunächst die symmetrische Gruppe von \(n\) Variabeln ausführlich besprochen, sodann in eleganter Weise der Satz bewiesen, daß jede eindimensionale Darstellung der allgemeinen linearen Gruppe, welche durch rationale Funktionen der Substitutionskoeffizienten geliefert wird, aus den in eine beliebige feste Potenz erhobenen Determinanten jener Substitutionen besteht. Der Beweis ist wesentlich derselbe, mit dem man die Formen gewinnt, welche eine Komposition zulassen.
Es folgt (Kap. 2) eine kurze Darstellung der Burnsideschen Methode zur Behandlung des Problems der vollständigen Reduzierung von endlichen Substitutionsgruppen und im Anschluß daran der Beweis des Satzes, daß jede Untergruppe der vollen linearen Gruppe, deren Koeffizienten beschränkt sind, auf unitare Gestalt gebracht werden kann. Kap. 3 gibt eine kurze Herleitung der Hauptsätze aus der Lehre von den Charakteren endlicher Gruppen. Sehr ausführlich werden die Charaktere und Darstellungen der symmetrischen und alternierenden Gruppe gegeben. Besonders wertvoll sind Tabellen, welche gestatten, die irreduziblen Darstellungen aus den zu einer Klasse gehörigen Permutationsgruppen zu gewinnen. Hierauf werden alle stetigen Darstellungen der vollen linearen Gruppe, die nicht mehr weiter vollständig reduziert werden können, angegeben. Nachdem das wichtige Hilfsmittel der Gruppenintegration eingeführt ist, werden die orthogonalen Gruppen mit und ohne Vorzeichenbedingung für die Determinante und die Spin-Darstellungen der ersteren behandelt. Den Schluß macht ein Kapitel über die kristallographischen Gruppen und ein leider kurzes über die Lorentzgruppe. Das Buch ist durchweg klar geschrieben, die Beweise wohldurchdacht.
Eine Bemerkung sei noch gestattet. Verf. will, daß die Gruppenformeln \(TS\) von rechts nach links gelesen werden. Es gilt aber doch die Regel, daß das auditive und visuelle Bild übereinstimmen müssen. Löst man die Beziehung zwischen zwei Variablenreihen nach den neuen Variablen auf, so gilt die Regel der Funktionentheorie: erst rechts ausrechnen, dann links (Beispiel \(\log \sin x\)), aber stets von links nach rechts lesen. Löst man dagegen die Relationen nach den alten Variablen auf, so gilt die Regel der Substitutionentheorie: erst links, dann rechts. Eine Formel, wie die auf S. 202 \(X\to Y=AX\), wo \(A\) die Substitution ist, ergibt neben \(X\to Y\) auch \(X\to AX\), also die vom Verf. verbotene Zusammensetzung von Matrizen, da nach den alten Variabeln \(X\) aufgelöst ist.

Reviewer: A. Speiser (Zürich) (JFM 64.0964.02)

MSC:

20Cxx	Representation theory of groups
20-02	Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to group theory

Keywords:

group representations