On classes of sets of natural numbers. (Über Klassen von Mengen natürlicher Zahlen.) (German) Zbl 0048.03401

Volkmann, Bodo

J. Reine Angew. Math. 190, 199-230 (1952).

Einer unendlichen Menge \(\mathfrak A\) natürlicher Zahlen werde durch die Festsetzung \[ \rho = \Gamma(\mathfrak A) = \sum_{a\in\mathfrak A} 2^{-a} \] eineindeutig eine reelle Zahl zugeordnet, wobei also \(0 <\rho\le 1\). Verf. behandelt einige Probleme, die aus den folgenden beiden Fragestellungen entspringen:
1. Gegeben eine Menge \(M\) von reellen Zahlen \(\rho\) \((0 < \rho\le 1)\) mit einer bestimmten Eigenschaft. Welches sind die zahlentheoretischen Eigenschaften der Mengen \(\mathfrak A\) mit \(\Gamma(\mathfrak A)\in M\) ?
2. Gegeben eine Klasse \(N\) von Mengen natürlicher Zahlen, die durch eine bestimmte Eigenschaft charakterisiert sind. Welches sind die arithmetischen oder mengentheoretischen Eigenschaften der Menge \({}_\Gamma N\) der nach (1) zugehörigen reellen Zahlen ?
\(\mathfrak A\) heiße rational, wenn \(\Gamma(\mathfrak A)\) rational ist, pseudorational, wenn es zu jedem \(\varepsilon > 0\) rationale oder leere Mengen \(\mathfrak R_\varepsilon\) und \(\mathfrak R^\varepsilon\) und \(\mathfrak R_\varepsilon\subseteq \mathfrak A\subseteq \mathfrak R^\varepsilon\) und \(D^*(\mathfrak R^\varepsilon - \mathfrak R_\varepsilon)<\varepsilon\) gibt, wo \(D^*(\mathfrak B) = \lim_{x\to\infty} \sum_{\substack{b\in\mathfrak B \\ b\le x}} 1\) (vgl. R. C. Buck, Am. J. Math. 68, 560–580 (1946; Zbl 0061.07503)]. \(D^*\) existiert, wie bewiesen wird, für rationale und pseudorationale Mengen stets.
Verf. beweist u. a. ad 1. die Abgeschlossenheit der rationalen Mengen und die der pseudorationalen Mengen bezüglich der Bildung von Komplement, Durchschnitt und Vereinigung: Die Klasse der rationalen einschließlich der höchstens endlichen Mengen ist eine Boolesche Algebra. Die Klasse der pseudorationalen einschließlich der endlichen Mengen ist eine Boolesche Algebra.
Ferner: bezeichnet \(\overline{\mathfrak A}\) die zu \(\mathfrak A\) komplementare Menge, so gilt: Sind \(\mathfrak A\) und \(\mathfrak B\) pseudorational und \(D*((\mathfrak A\vee \mathfrak B) \wedge \overline{(\mathfrak A\vee \mathfrak B)}) < 1\), so ist die durch \(\Gamma(\mathfrak C)\equiv \Gamma(\mathfrak A) + \Gamma(\mathfrak B)\) definierte Menge pseudorational.
Ad 2. verwendet Verf. den Hausdorffschen Maßbegriff (die betrachteten Mengen sind durchweg vom Lebesgueschen Maß Null) [F. Hausdorff, Math. Ann. 79, 157–179 (1918; JFM 46.0292.01)]. Hier beweist er u. a.:
\([\mathfrak A]\) bezeichne die Klasse der unendlichen Untermengen einer festen Menge \(\mathfrak A\), \(K_i\) \((i\ge 2)\) die Klasse derjenigen Mengen \(\mathfrak A\), welche nicht \(i\) aufeinanderfolgende natürliche Zahlen enthalten. Dann gilt für die Hausdorffschen Dimensionen
\[ \dim {}_\Gamma [\mathfrak A] = D^*(\mathfrak A) = \lim_{x\to\infty} \frac1x \sum_{\substack{a\in \mathfrak A \\ a\le x}} 1,\quad \dim {}_\Gamma K_i = \frac{\log \gamma_i}{\log 2}, \] wo \(\gamma_i\) die (einzige) positive Wurzel der Gleichung \(\xi^i - \sum_{j=0}^{i-1} \xi^j = 0\) bezeichnet.

Reviewer: Hans-Egon Richert (Göttingen)

MSC:

11B05	Density, gaps, topology
28A99	Classical measure theory

Citations:

Zbl 0061.07503; JFM 46.0292.01