Charakterisierung der holomorph vollständigen komplexen Räume. (German) Zbl 0064.32603

Grauert, Hans

Math. Ann. 129, 233-259 (1955).

Keywords:

complex functions

References:

[1]	Vgl.H. Weyl: Die Idee der Riemannschen Fläche, 1913 Teubner Verlag, Neuauflage 1955 Teubner Verlag.
[2]	T. Radó: Über den Begriff der Riemannschen Fläche. Acta Szeged2, 101-121 (1924). · JFM 51.0273.01
[3]	Vgl.H. Cartan: Séminaire, 1953-54, Exposé VI, undH. Behnke undK. Stein: Modifikationen komplexer Mannigfaltigkeiten und Riemannscher Gebiete. Math. Ann.124, 1-16 (1951). · Zbl 0043.30301 · doi:10.1007/BF01343548
[4]	E. Calabi undB. Eckmann: A class of compact complex manifolds, which are not algebraic. Ann. of Math.58, 494-500 (1953). · Zbl 0051.40304 · doi:10.2307/1969750
[5]	Vgl.K. Stein: Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Problem. Math. Ann.123, 201-222 (1951). · Zbl 0042.08703 · doi:10.1007/BF02054949
[6]	Vgl.H. Cartan: Variétés analytiques complexes et cohomologie, Brüssel 1953, undH. Cartan: Séminaire E. N. S. 1951-52, exposé IX.
[7]	Vgl.H. Cartan, loc. cit. 6) (Brüssel), p. 49.
[8]	Vgl.H. Cartan, loc. cit. 5) (Brüssel), p. 51.
[9]	Bekanntlich haben nicht alle komplexen Mannigfaltigkeiten eine abzählbare Topologie; vgl.E. Calabi undM. Rosenlicht: Complex analytic manifolds without countable base. Proc. Amer. Math. Soc.4, 335-340 (1953). Unabhängig von dieser Arbeit wurde das in ihr gegebene Beispiel durch mündliche Mitteilungen vonH. Hopf bekannt; vgl. übrigensH. Hopf, Schlichte Abbildungen und lokale Modifikationen 4-dimensionaler komplexer Mannigfaltigkeiten. Comment. Math. Helv.29, 132-156 (1955), insbesondere S. 145-146 mit Fußnote 7. · doi:10.1090/S0002-9939-1953-0058293-X
[10]	Wir folgen hierH. Behnke undK. Stein. Vgl.H. Behnke undK. Stein, loc. cit. 3).. · Zbl 0043.30301 · doi:10.1007/BF01343548
[11]	Vgl.H. Cartan: Séminaire, 1953-54, Exposé X, XI undK. Oka: Sur les fonctions analytiques des plusieurs variables. VIII. Lemme fondamental (suite). J. Math. Soc. Japan3, 254-278 (1951).
[12]	H. Behnke undP. Thullen: Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen. Erg. d. Math.3, 251-371 (1935).
[13]	H. Hopf: Über komplex-analytische Mannigfaltigkeiten. Rend. Mat. appl. V,10, 169-182 (1951). · Zbl 0044.20003
[14]	Eine Abbildung zweier lokal-kompakterHausdorffscher Räume ineinander heißt eigentlich, wenn die Urbildmengen kompakter Mengen kompakt sind. Wir verwenden ?kompakt? im Sinne vonN. Bourbaki.
[15]	?1?H. Grauert undR. Remmert: Zur Theorie der stetigen und eigentlichen Modifikationen komplexer Räume (erscheint in den Math. Ann.). Die komplexen Räume werden hier im wesentlichen nachH. Behnke undK. Stein [loc. cit. 3)] definiert.
[16]	Vgl.H. Cartan, loc. cit. 3).. · Zbl 0043.30301 · doi:10.1007/BF01343548
[17]	H. Cartan, loc. cit. 10a),K. Oka, loc. cit. 10a). Der hier benutzte Satz lautet: IstA eine analytische Menge eines Gebietes desC n , *A der durchA erzeugte komplexe Raum, so gibt es zu jedem Punktx ? *A endlich viele inx holomorphe Funktionenf 1 ...f k , die eine Umgebung vonx normal einbetten.
[18]	Vgl.H. Cartan: Idéaux et modules des fonctions analytiques des variables complexes. Bull. Soc. Math. France78, 28-64 (1950). Ferner auchH. Cartan, loc. cit. 6) (Brüssel), théorème 3. Der Satz, daß jede Funktion, die auf einer in einem Holomorphiegebiet 240-1 normal eingebetteten analytischen MengeA (schwach) holomorph ist, sich als Spur einer in 240-2 holomorphen Funktion gewinnen läßt, wurde schon vor mehreren Jahren vonH. Cartan bewiesen. Die hier benutzte Verschärfung ergibt sich nach einer mündlichen Mitteilung vonH. Cartan aus einem Satz vonBanach über lineare Abbildungen vollständiger metrischer Vektorräume aufeinander (vgl.N. Bourbaki XII, Esp. vect. top.). Der Raum der holomorphen Funktionen aufA bzw. 240-3 ist ? versehen mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz ? ein vollständiger metrisierbarer Vektorraum über dem Körper der komplexen Zahlen. Vgl. auchK. Oka: Sur la théorie des fonctions des plusieurs variables. IX: Domaines finis sans point critique interieur. (Jap. J. Math. 1953.)
[19]	H. Cartan, loc. cit. 6) (Brüssel), p. 49.
[20]	Vgl.P. Cousin: Sur les fonctions desn var. compl. Acta math.19, 1-62 (1895) undK. Oka: Sur la théorie des fonctions des plusieurs variables. II: Domaines d’holomorphie. J. Sci. Hiroshima Univ. A6, 245-255 (1936). · JFM 26.0456.02 · doi:10.1007/BF02402869
[21]	Vgl.H. Behnke undP. Thullen, loc. cit. 10b),. §4, Satz 32.
[22]	Vgl.R. Remmert, loc. cit. 19) und 35).
[23]	Die Konvergenzhülle eines Gebietes 245-1 imC n ist der kleinste 245-2 umfassende Rungesche Bereich. Vgl. dazu auch den Begriff derK-konvexen Hülle [H. Behnke undP. Thullen, loc. cit. 10b),. S. 76].
[24]	Vgl.Osgood, Lb. II1, S. 117 (Satz 5).
[25]	Vgl.S. Bergman: The kernel function and conformal mapping. (Amer. Math. Soc. 1950.) · Zbl 0040.19001
[26]	Vgl.R. Remmert, loc. cit. 26).
[27]	H. Whithey: Differentiable manifolds in euklidian space. Proc. Acad. USA21, 462-464. Die Existenz einer Riemannschen Metrik ergibt sich unmittelbar aus der Einbettbarkeit in den euklidischen Raum.
[28]	Vgl.R. Remmert, loc. cit. 35).
[29]	Vgl.H. Grauert undR. Remmert, loc. cit. 16).
[30]	Vgl.R. Remmert, loc. cit. 19). Satz über die Nullstellengebilde der Funktionaldeterminanten holomorpher Abbildungen.
[31]	Vgl.R. Remmert, loc. cit.19). Der Satz lautet: Sind ?, \(\mathfrak{S}\) komplexe Räume und bildet ? den Raum ? holomorph in \(\mathfrak{S}\) ab, so bilden die Punktex von ?, in denen der lokale Rang ? x <? (? fest) ist, eine analytische Menge von ?.
[32]	R. Remmert undK. Stein: Über die wesentlichen Singularitäten analytischer Mengen. Math. Ann.126, 263-306 (1953). · Zbl 0051.06303 · doi:10.1007/BF01343164
[33]	Vgl.R. Remmert, loc. cit.19).
[34]	Vgl.K. Oka, loc. cit31). Der hier in besonderer Terminologie bewiesene Satz ist im wesentlichen das dort bewiesene Heftungslemma.