A note on the group of units of an algebraic number field. (English) Zbl 0071.26504

Iwasawa, Kenkichi

J. Math. Pures Appl., IX. Sér. 35, 189-192 (1956).

Es sei \(K/k\) ein relativ-galoisscher Zahlkörper und \(\mathfrak g\) seine Galoisgruppe. Verf. behandelt die Kohomologiegruppe \(H^n(\mathfrak g,E)\) der Einheitengruppe \(E\) von \(K\). Wohlbekannt (wenn bisher auch noch nicht formuliert worden) ist die folgende Verallgemeinrung von Hilbert [Zahlbericht, Satz 94]: \(H^1(\mathfrak g,E)\) ist kanonisch isomorph mit der Faktorgruppe der bei \(\mathfrak g\) invarianten Hauptdivisoren von \(K\) modulo der Gruppe der Hauptdivisoren von \(k\). Weiter wird im unverzweigten Fall die Exaktheit der Sequenz \[ \cdots\to H^{n+1}(E)\to H^n(J)\to H^n(I)\to H^{n+2}(E)\to\cdots \] gezeigt, wo \(J\) die Idealklassengruppe und \(I\) die Idealklassengruppe von \(K\) bezeichnet. Insbesondere ergibt sich so: \(H^2(\mathfrak g,E)\) ist isomorph mit der Faktorgruppe der bei \(\mathfrak g\) invarianten Divisorenklassen modulo der Gruppe der von Divisoren von \(k\) erzeugten Klassen.

Reviewer: H. W. Leopoldt

MSC:

11R27

Units and factorization

Keywords:

group of units; relatively Galois field; cohomology group; ideal class group