Representations for real numbers and their ergodic properties. (English) Zbl 0079.08901

Rényi, Alfréd

Acta Math. Acad. Sci. Hung. 8, 477-493 (1957).

Verf. untersucht eine allgemeine Darstellungsmethode für reelle Zahlen, welche die systematischen Brüche nach einer gewählten Basis (z. B. die Dezimalbrüche), wie auch die Kettenbruchentwicklung als Sonderfälle enthält. Bissinger und Everett folgend, sich aber von einigen Einschränkungen freimachend, die bei diesen Autoren vorkommen, nennt Verf. den Ausdruck \[ x =\varepsilon_0 + f(\varepsilon_1 + f(\varepsilon_2 + f(\varepsilon_3 + \ldots) \ldots) \ldots) \tag\text{*} \] die \(f\)-Entwickelung der Zahl \(x\) nach der (monotonen) Funktion \(f\ge 0\), falls die ,,Ziffern” \(\varepsilon_n= \varepsilon_n(x)\) und die ,,Reste” \(r_n(x) = f(\varepsilon_{n+1}+ f(\varepsilon_{n+2}+ f(\varepsilon_{n+3} + \ldots) \ldots) \ldots)\) durch rekursive Formeln
\[ \varepsilon_0(x) = [x] , r_0(x) = (x), \varepsilon_{n+1}(x) = [\varphi(r_n(x))], r_{n+1}(x) = (\varphi(r_n(x)))\] definiert sind, wo \([z]\) den ganzen Teil, \((z)\) den Bruchteil von \(z\) und \(\varphi\) die zu \(f\) inverse Funktion bedeutet. Bei \(f(x) = x/q\) \((q = 2, 3, \dots)\) erscheinen die systematischen und bei \(f(x)=1/x\) die Kettenbrüche. Zusätzliche Annahmen über \(f\), insbesondere die Lipschitz-Bedingung mit einem Koeffizienten \(\lambda < 1\), gewährleisten die Gültigkeit von (*). Der Fall einer nicht abnehmenden Funktion \(f\) und der einer nicht wachsenden werden getrennt betrachtet, weisen aber Analogien auf. Wenn \(f\) nicht abnimmt, \(f(0) = 0\) gilt und von einer gewissen Stelle \(T\) an \(f(x) = 1\) ist, so können nur Ziffern von 1 bis \([T]\) vorkommen; dementsprechend sind beliebige Ziffern zulässig, falls erst \(\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x) = 1\) gilt.
Es besteht aber ein erheblicher Unterschied zwischen dem Fall, daß \(T<\infty\) ganz und dem, daß es keine ganze Zahl ist, denn im ersten Fall ist jede Folge \(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots\) \((1\le \varepsilon_n\le T)\) die Ziffernfolge einer \(f\)-Entwickelung für geeignetes \(x\) und im zweiten gibt es Folgen, welchen kein \(x\) entspricht. Analoges gilt für nicht wachsende Funktionen \(f\) mit \(f(1) = 1\) und \(f(x) = 0\) für \(x \ge T\). Die wichtigsten Ergebnisse der Arbeit bestehen im Nachweis ergodischer Eigenschaften der \(f\)-Entwicklungen, wenn \(f\) gewissen weiteren Bedingungen unterworfen wird. Falls \(T =\infty\) oder \(T < \infty\) ganz, hat man den Hauptsatz: für jede in \((0,1)\) \(L\)-integrierbare Funktion \(g\) und für fast jedes \(x\) gilt
\[ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1}g(r_k(x)) = M(g) \] mit \(M(g) = \int_0^1 g(x) h(x)\, dx\), wo die Funktion \(h\) nur von \(f\) abhängt und das Maß \(\nu(E) = \int_E h(x)\, dx\) invariant gegenüber der Transformation \(Tx = (\varphi(x))\) ist [d. h. \(\nu(T^{-1} E) = \nu(E)]\).
In dem Beweis spielt der ergodische Satz von Dunford und Miller eine entscheidende Rolle. Aus dem Hauptsatz folgt insbesondere, daß die relative Dichte der zulässigen Ziffern für fast alle \(x\) dieselbe ist und nur von der Ziffer und von \(f\) abhängt. Deswegen, da für die systematischen und die Kettenbrüche die Voraussetzungen des Hauptsatzes erfüllt sind, ergibt sich entsprechend der Satz von Borel über ,,normale” Zahlen und der von Lévy über die Verteilung von Teilnennern. Der Hauptsatz selbst liefert für Kettenbrüche den Satz von Ryll-Nardzewski (dies. Zbl. 44, 124).
Der schwierigere Fall: \(T < \infty\), \(T\) nicht ganz, wird nicht allgemein untersucht, jedoch kann Verf. für den Sonderfall \(f(x) = x/\beta\) (bei \(0\le x\le \beta)\) oder 1 (bei \(\beta < x)\), \(\beta\) nicht ganz, d. h. für die systematischen Entwicklungen nach einer gebrochenen Basis, den Hauptsatz noch beweisen. Es werden auch andere Algorithmen, als die Bruchentwickelungen, an Hand von Beispielen betrachtet.

Reviewer: Stanisław Hartman

MSC:

11K55

Metric theory of other algorithms and expansions; measure and Hausdorff dimension

Keywords:

representations of real numbers; ergodic properties

References:

[1]	B. H. Bissinger, A generalization of continued fractions,Bulletin of the Amer. Math. Soc.,50 (1944), pp. 868–876. · Zbl 0060.16302 · doi:10.1090/S0002-9904-1944-08254-2
[2]	C. I. Everett, Representations for real numbers,Bulletin of the Amer. Math. Soc.,52 (1946), pp. 861–869. · Zbl 0061.09407 · doi:10.1090/S0002-9904-1946-08659-0
[3]	W. Bolyai,Tentamen iuventutem studiosam in elementa matheseos purae elementaris ac sublimioris methodo intuitiva evidentiaque huic propria introducendi, ed. sec. (Budapest, 1897), Vol. I. · JFM 35.0013.03
[4]	Gy. Farkas, A Bolyai-féle algoritmus,Értekezések a matematikai tudományok körébol,8 (1881), pp. 1–8, further seeP. Veres, A Bolyai-féle algoritmus,Mennyiségtani és Term. Tud. Didaktikai Lapok,1 (1943), pp. 57–62.
[5]	É. Borel, Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques,Rendiconti del Circ. Mat. di Palermo,27 (1909), pp. 247–271. · JFM 40.0283.01 · doi:10.1007/BF03019651
[6]	D. Raikoff, On some arithmetical properties of summable functions,Mat. Sbornik,1 (1936), pp. 377–384. · Zbl 0014.39701
[7]	R. O. Kuzmin, Sur un problème de Gauss,Atti del Congresso Internazionale del Matematici Bologna, (1928), Vol. VI, pp. 83–89.
[8]	P. Lévy,Théorie de l’addition des variables aléatoires (Paris, 1954), Ch. IX, pp. 290.
[9]	A. Khintchine, Metrische Kettenbruchprobleme,Comp. Math.,1 (1935), pp. 359–382.
[10]	A. Khintchine, Zur metrischen Kettenbruchtheorie,Comp. Math.,3 (1936), pp. 276–285. · JFM 62.0245.03
[11]	A. Khintchine,Kettenbrüche (Leipzig, 1956). · Zbl 0071.03601
[12]	C. Ryll-Nardzewski, On the ergodic theorems. II. Ergodic theory of continued fractions,Studia Math.,12 (1951), pp. 74–79. · Zbl 0044.12401
[13]	S. Hartman E. Marczewski C. Ryll-Nardzewski, Théorèmes ergodiques et leurs applications,Coll. Math.,2 (1951), pp. 109–123. · Zbl 0044.12301
[14]	S. Hartman, Quelques propriétés ergodiques des fractions continues,Studia Math.,12 (1951), pp. 271–278. · Zbl 0044.12402
[15]	F. Riesz, Sur la théorie ergodique,Commentarii Math. Helv.,1 (1944–45), pp. 221–239. · Zbl 0063.06500
[16]	A. Rényi, Valós számok eloállítására szolgáló algoritmusokról,MTA Mat. és. Fiz. Oszt. Közl.,7 (1957), pp. 265–293.
[17]	N. Dunford andD. S. Miller, On the ergodic theorem,Trans. Amer. Math. Soc.,60 (1946), pp. 538–549. · Zbl 0063.01187 · doi:10.1090/S0002-9947-1946-0018359-8
[18]	F. Riesz, On a recent generalization of G. D. Birkhoff’s ergodic theorem,Acta Sci. Math. Szeged,11 (1948), pp. 193–200. · Zbl 0030.39703
[19]	K. Knopp, Mengentheoretische Behandlung einiger. Probleme der diophantischen Approximationen und der transfiniten. Wahrscheinlichkeiten,Math. Annalen,95 (1926), pp. 409–426. · JFM 51.0162.01 · doi:10.1007/BF01206618