Integral formulae of arithmetical character. (English) Zbl 0081.27404

Mordell, L. J.

J. Lond. Math. Soc. 33, 371-375 (1958).

Ausgehend von einem bekannten Resultat, das man Landau verdankt:
\[ \int_0^1 (\{ax\} - \tfrac12)(\{bx\} - \tfrac12)\, dx = \frac{(a,b)}{12 [a, b]} \]
rechts steht g.g.T. bzw. k.g.V.; \(\{x\} = x -[x])\) und einer Verallgemeinerung von M. Mikolás [Publ. Math. 5, 44–53 (1957; Zbl 0081.27403)] wird hier folgendes recht allgemeine Resultat gewonnen:
\(f_\nu(x)\) \((x\ge 0)\) bedeuten Funktionen, deren jede einer Differenzengleiehung
\[ f_\nu(x) + f_\nu(x + 1/k) + \ldots + f_\nu(x + (k - 1)/k) = c_{\nu,k} f(kx) \]
genügt (z. B. sind \(B_\nu(x)\) und \(\zeta(s;x)\) von solcher Art, \(a_1, \ldots,a_n\) natürliche paarweise teilerfremde Zahlen), \(A = \prod_1^n a_\nu\). Dann gilt
\[ \begin{split} \int_0^A f_1\left(\left\{\frac{x}{a_1}\right\}\right)\cdot f_2\left(\left\{\frac{x}{a_2}\right\}\right) \cdots f_n\left(\left\{\frac{x}{a_n}\right\}\right) \,dx &= A \int_0^1 f_1\left(\left\{\frac{Ax}{a_1}\right\}\right)\cdot f_2\left(\left\{\frac{Ax}{a_2}\right\}\right) \cdots f_n\left(\left\{\frac{Ax}{a_n}\right\}\right) \,dx \\ &= c_{1,a_1} c_{2,a_2}\cdots c_{n,a_n} \int_0^1 f_1(x) \cdots f_n(x) \,dx\,.\end{split} \]
Der Beweis erfolgt durch Zerlegung des Integrationsintervalls in die Teilintervalle \((m-1) a_1\cdots a_{n-1} \le x \le ma_1\cdots a_{n-1}\) \((m = 1, 2, \ldots, a_n)\) und ist recht elementar.

MSC:

11M99

Zeta and \(L\)-functions: analytic theory

Citations:

Zbl 0081.27404; Zbl 0081.27403