Some further statistical properties of the digits in Cantor’s series. (English) Zbl 0088.25804

Erdős, Pál; Rényi, Alfréd

Acta Math. Acad. Sci. Hung. 10, 21-29 (1959).

In Fortsetzung früherer Arbeiten von A. Rényi (Zbl 0067.10401; Zbl 0079.08901) untersuchen die Verff. das asymptotische Verhalten von Ziffern \(\varepsilon_n(x)\) in der Cantorschen Entwicklung \[ x = \sum_{n=1}^\infty {\varepsilon_n(x) \over q_1q_2\cdots q_n} (0 \leq x \leq 1; q_n \geq 2 \text{ ganz; } 0 \leq \varepsilon_n(x) \leq q_n-1). \] Es wird \[ f_n(k,x) = \sum _{\substack{{\varepsilon_j (x)=k} \\ {1\leq j\leq n}}} 1,\qquad Q_n = \sum_{j=1}^n {1 \over q_j}, \qquad M_n(x) = \max_{k} f_n(k,x) \] gesetzt. Dann gelten folgende Sätze:
I. Ist \(\lim_{n} Q_n/\log n = \infty\), so hat man \(\lim_{n} M_n (x)/Q_n=1\) fast überall (d. h. für fast jedes \(x\)).
II. Ist \(0 < c_1 \leq q_n/n \leq c_2\) (\(n=1,2,...\)) und \(\lim_{n} Q_n/\log n = \alpha > 0\), so hat man fast überall \(\lim_n M_n (x)/Q_n = y(\alpha )\), wo \(y(\alpha)\log y(\alpha) = 1/\alpha\).
III. Ist \(\lim_n q_n/n = \infty\) und \(\lim_n Q_n = \infty\), so hat man fast überall \(\lim_{n} M_n(x)/Q_n = \infty\).
Satz I folgt im Falle \(q_n \leq K\) leicht aus dem von den Verff. schon früher auf die Cantorschen Reihen mit \(Q_n \to \infty\) verallgemeinerten Borelschen Sätze über die Gleichverteilung von Ziffern in Dezimalbrüchen. In vollem Umfang wird Satz I, sowie II und III mit wahrscheinlichkeitstheoretischen Methoden bewiesen, wobei die Ausrechnung oder Abschätzung der in Frage kommenden Wahrscheinlichkeiten die Hauptschwierigkeit bildet.

Reviewer: S.Hartman

MSC:

11K55

Metric theory of other algorithms and expansions; measure and Hausdorff dimension

Keywords:

number theory; Cantor series

Citations:

Zbl 0067.10401; Zbl 0079.08901

References:

[1]	É. Borel, Sur les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques.Rendiconti del Circ. Maf. di Palerrno,26 (1909), pp. 247–271. · JFM 40.0283.01 · doi:10.1007/BF03019651
[2]	A. Rényi, On a new axiomatic theory of probability,Acta Math. Acad. Sci. Hung.,6 (1955), pp. 285–335. · Zbl 0067.10401 · doi:10.1007/BF02024393
[3]	A. Rényi, A számjegyek eloszlása valós szamok Cantor-féle eloállitásaiban,Mat. Lapok,7 (1956), pp. 77–100.
[4]	A. Rényi, Representations for real numbers and their ergodic properties,Acfa Math. Acad. Sci. Hung.,8 (1957), pp. 477–493. · Zbl 0079.08901 · doi:10.1007/BF02020331
[5]	P. Eaobs, A. Renw andP. Szusi. On Engel’s and Sylvester’s series,Annoles Cniv. Sci. Budapest, Sectio Math.,1 (1958), pp. 7–32.