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On Cantor’s series with convergent \(\sum {1/q_n}\). (English) Zbl 0095.26501

Die Verff. untersuchen die Cantorschen Entwicklungen \[ x = \sum_{n=1}^\infty {\varepsilon_n(x) \over q_1\cdots q_n}, \] wo für jedes \(n, q_n \geq 2\) und \(\varepsilon_n(x)\) eine der Zahlen \(0,1,...,q_n-1\) ist. Im Gegensatz zu ihren früheren Untersuchungen (Zbl 0088.25804) setzen die Verff. hier \(\sum {1 \over q_n} < \infty\) voraus. Dann hat man für fast jedes \(x\varepsilon_n(x) \to \infty\) und \(\nu_{k,n} x = \text{Card}\{r \geq n: \varepsilon_r(x) = k\} < \infty\) \((k=1,2,...)\). Wird \(q_n \leq q_{n+1}\) angenommen und setzt man noch \(m_n(x) = \sup_{k} \nu_{k,n}(x)\), \(m(x) = \lim_n m_n(x)\), \(R_n = \sum_{j=n}^\infty {1 \over q_j}\), so ist für ein ganzes \(s > 0\) und für fast jedes \(x\) \(m(x) = s\), wenn \(\sum_{n=1}^\infty R_n^{s-1} = \infty\), \(\sum_{n=1}^\infty R_n^s < \infty\) gilt. Hat man \(\sum_{n=1}^\infty R_n^s = \infty\) für jedes \(s\), so ist \(m(x) = \infty\) mit der Wahrscheinlichkeit 1. Ein entsprechend starkes Wachstum der Zahlen \(q_n\) hat zur Folge, daß die ”Ziffern” \(\varepsilon_n(x)\) für fast jedes \(x\) von einer Stelle an wachsen oder entsprechend stark wachsen. Es wird eine Bedingung aufgestellt dafür, daß für eine gegebene Folge natürlicher Zahlen \(k_1 < k_2 < \cdots\) die Menge \(S(x)\) aller \(\varepsilon_n (x)\) mit der Wahrscheinlichkeit 1 eine endliche bzw. unendliche Anzahl von \(k_j\) enthält. Die Dichte \(S(x)\) ist für fast jedes \(x\) gleich 0.
Andere Sätze beziehen sich auf die Abschätzung von \(\nu_k(x) = \nu_{k,1}(x)\) nach unten. Wesentlich in den Beweisen ist das Lemma von Borel-Cantelli, entweder in seiner klassischen oder in einer von den Verff. entsprechend verallgemeinerten Form.
Reviewer: S.Hartman

MSC:

11K55 Metric theory of other algorithms and expansions; measure and Hausdorff dimension

Keywords:

number theory

Citations:

Zbl 0088.25804
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