Concerning a formula of Leibniz. (Intorno ad una formula del Leibniz.) (Italian) JFM 01.0085.02

Tardy, Placido

Boncompagni Bull. I. 177-186. Mondes (2). XVIII. 372 (1868).

Der Aufsatz gipfelt in dem Nachweis, dass die Leibnizsche Reihe \[ D^\mu.uv=u.D^\mu v+{\mu\choose 1}Du D^{\mu-1} v+{\mu \choose 2} D^2u D^{\mu-2} v+{\mu\choose 3} D^3u D^{\mu-3} v+\cdots \] für alle reellen Werthe von \(\mu\) gilt, wenn man für gebrochene und negative \(\mu\) dem Differentialquotienten \(D^\mu y\) die Bedeutung vindicirt, welche von Liouville (Sur le calcul des différentielles à indices quelconques. – J. de l’éc. pol. 1832, p. 117) eingeführt worden ist. Der Verfasser zeigt, dass sie einen besondern Fall seiner allgemeineren, für jedes \(\mu\) geltenden Formel \[ \int^\mu \varphi(x)dx=\frac{x^\mu}{\Gamma(\mu)} \sum^{k=\infty}_{k=0}\;\frac{(-1)^k}{k!}\;\frac{x^k}{\mu+k}\;D^k\varphi \] darstellt, welche er bereits im Jahre 1858 in den von Tortolini herausgegebenen Annali di Matematica etc. publicirt hat, nachdem er schon im Jahre 1844 in demselben Journal die allgemeine Gültigkeit der Leibniz’schen Reihe nachgewiesen.
Besonders beachtenswerth ist die Abhandlung für Diejenigen, welche sich über die Literatur des fraglichen Stoffs unterrichten wollen, da dieselbe sehr vollständig aufgeführt und belegt ist.
Wir tragen in letzter Beziehung noch nach.

Reviewer: Worpitzky, Dr. (Berlin)

MSC:

26A33	Fractional derivatives and integrals
26A24	Differentiation (real functions of one variable): general theory, generalized derivatives, mean value theorems
26-03	History of real functions
01A45	History of mathematics in the 17th century

JFM Section:

Fünfter Abschnitt. Reihen. Capitel 2. Besondere Reihen

Keywords:

Leibniz formula; derivatives of products; fractional derivatives