×

Theory of Bessel potentials. II. (English) Zbl 0185.19703

Summary: Dans cette partie de la théorie des potentiels besseliens on considère les restrictions de potentiels de la classe \(P^\alpha(\mathbb R^n)\) aux domaines ouverts \(D\subset \mathbb R^n\). On cherche à caractériser de manière intrinsèque la classe \(P^\alpha(D)\) ainsi obtenue.
On attaque ce problème en définissant de manière directe (§2) une classe \(\check P^\alpha(D)\subset P^\alpha(D)\) qui, pour des domaines assez réguliers, est égale à \(P^\alpha(D)\).
L’égalité \(\check P^\alpha(D)=P^\alpha(D)\) est équivalente à l’existence d’un opérateur-extension \(E:\check P^\alpha(D)\to P^\alpha(\mathbb R^n)\), linéaire et continu, tel que \(Eu\) soit une extension de \(u\). Si un tel opérateur \(E\) transforme continûment \(\check P^\alpha(D)\) dans \(P^\alpha(\mathbb R^n)\) pour tous les \(\alpha\) dans un intervalle \(\mathcal I\subset [0,\infty)\), on parle d’une extension simultanée relativement à \(\mathcal I\); un domaine \(D\) pour lequel une telle extension simultanée existe, appartient à la classe \(\mathcal E(\mathcal I)\). On donne, dans les §§7, 10, 11, des théorèmes déterminant des classes très générales de domaines appartenant à \(\mathcal E([0,\infty))\).
En particulier, on obtient que tous les domaines bornés, localement lipschitziens, et tous les polyhèdres \(n\)-dimensionnels géométriques dont la frontière forme une variété \((n-1)\)-dimensionnelle, appartiennent à \(\mathcal E([0,\infty))\). Pour les domaines convexes, non-bornés, on obtient des conditions géométriques simples, nécessaires et suffisantes pour qu’ils appartiennent à \(\mathcal E([0,\infty))\) (§12).

MSC:

31B15 Potentials and capacities, extremal length and related notions in higher dimensions
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI Numdam EuDML

References:

[1] N. ARONSZAJN and H. G. HARDY, Properties of a class of double integrals, Ann. of Math. 46 (1945), 220-241.0060.142027,116b · Zbl 0060.14202
[2] N. ARONSZAJN, F. MULLA et P. SZEPTYCKI, On spaces of potentials connected with Lp classes, Ann. de l’Inst. Fourier, Vol. XIII (1963), 211-306.0121.0960431 #5076AIF_1963__13_2_211_0 · Zbl 0121.09604
[3] O. V. BESOV, On a family of functional spaces, Theorems about restrictions and extensions, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 126, 6 (1959) 1163-1165.0097.09701 · Zbl 0097.09701
[4] A. P. CALDERON, Lebesgue spaces of differentiable functions and distributions, Proc. of Symposium in Pure Math. Vol. IV, Partial Differential Equations (1961), 33-49.0195.4110326 #603 · Zbl 0195.41103
[5] A. P. CALDERON, Proc. Symposium Diff. Equations, Berkeley, Calif. 1960.
[6] R. COURANT and D. HILBERT, Methoden der Mathematischen Physik, 2 Band Springer Verlag, 1938. · Zbl 0156.23201
[7] E. GAGLIARDO, Caratterizzazioni della tracce sulla frontiera relative ad alcune classi di funzioni in n variabili, Rendiconti Sem. Mat. Padova, Vol. 27 (1957), 248-305.0087.1090221 #1525RSMUP_1957__27__284_0 · Zbl 0087.10902
[8] M. R. HESTENES, Extension of the range of a differentiable function, Duke Math. Journ. Vol. 8 (1941), 183-192.0024.386022,219c67.0191.03 · JFM 67.0191.03
[9] L. LICHTENSTEIN, Eine elementare Bemerkung zur reellen Analysis, Math. Zeitschrift, Vol. 30 (1929), 794-795.55.0134.04 · JFM 55.0134.04
[10] S. M. NIKOLSKII, Theorems about restrictions, extensions and approximation of differentiable functions of several variables (Survey Article), Usp. Mat. Nauk. Vol. 16, 5 (1961), 63-114. · Zbl 0117.29101
[11] R. T. SEELEY, Extension of C∞ functions defined in a half-space, Proc. Amer. Math. Soc. 15 (1964), 625-626.0127.2840329 #2676 · Zbl 0127.28403
[12] [12] , Spaces of S. L. Sobolev of fractional order, Dokl. Akad. Nauk. SSSR., Vol. 118 (1958), 243-246. · Zbl 0088.30302
[13] M. H. TAIBLESON, Smoothness and differentiability conditions for functions and distributions in En, Dissertation. University of Chicago 1962.
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.