Linear algebraic groups. Notes taken by Hyman Bass. (English) Zbl 0186.33201

Borel, Armand

Mathematics Lecture Note Series. New York-Amsterdam: W. A. Benjamin, Inc., xii, 398 p. (1969).

Diese Vorlesungen von einem Hauptvertreter der Theorie der linearen algebraischen Gruppen umfassen neben den Grundlagen hauptsächlich Struktursätze für auflösbare Gruppen und reduktive Gruppen (d.h. Gruppen mit unipotentem Radikal) einschließlich Vorbereitungen zur Klassifikation der halbeinfachen Gruppen. Die Publikation dieser Vorlesungen ist umso mehr zu begrüßen, als außer dem „klassischen“ Seminar Chevalley 1956–1958 und Ergänzung im Seminar Grothendieck-Demazure keine lehrbuchartige Literatur über dieses Gebiet der Mathematik vorliegt, das zweifellos zu den größten Errungenschaften der Nachkriegsmathematik gehört. Das dargebotene Material entstammt zum großen Teil den Seminaren Chevalley (das wiederum zum Teil auf der Arbeit des Verf. [Ann. Math. (2) 64, 20–82 (1956; Zbl 0070.26104)] fußt). Der zugrunde liegende Standpunkt bezüglich der algebraischen Geometrie ist im wesentlichen der mengentheoretische: Varietäten werden als Mannigfaltigkeiten von Punkten über algebraisch abgeschlossenen Körpern interpretiert, jedoch wird der schematheoretische Gesichtspunkt an einigen Stellen mit herangezogen.
Das Buch besteht aus sechs Kapiteln. Das Kapitel AG stellt die notwendigen Hilfsmittel aus der algebraischen Geometrie zusammen. Dabei schwebt dem Verf. ein Leser vor, der die algebraische Geometrie etwa im Umfang von D. Mumfords Harvard Lecture Notes, Introduction to algebraic geometry, kennt. Kapitel I enthält die Grundlagen aus der Theorie der algebraischen Gruppen. Im Kapitel II wird vor allem der Quotient von Gruppen als algebraische Mannigfaltigkeit konstruiert. Kapitel III enthält die Theorie der auflösbaren Gruppen. Kapitel IV bringt die Begriffe: Cartansche Untergruppe, reduktive Gruppe, Wurzelsysteme und damit zusammenhängende Sätze. Schließlich werden im Kapitel V lineare Gruppen über nicht algebraisch abgeschlossenem Grundkörper betrachtet. Jedes Kapitel enthält ausführliche Quellenverweise.

Reviewer: Helmut Koch (Berlin)

MSC:

20-01	Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to group theory
20Gxx	Linear algebraic groups and related topics
14Lxx	Algebraic groups

Keywords:

linear algebraic groups

Citations:

Zbl 0070.26104