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On the expansion of a function in squares and products of Fourier Bessel functioins. (Ueber die Entwickelung einer Funktion nach Quadraten und Produkten der Fourier-Bessel’schen Funktionen.) (German) JFM 02.0255.03

Leipz. Ber. 1869. 221-256. Leipzig 1870 (1870).
In der Schrift: “Theorie der Bessel’schen Funktionen. Leipzig 1867” hat Herr Neumann gezeigt, dass für zwei complexe Variable \(x\) und \(y\) \[ \frac{1}{y - x} = \sum^{n = \infty}_{n = 0} \varepsilon_n J^n (x) 0^n (y) [\varepsilon_0 = 1,\quad \varepsilon_{n > 0} = 2] \] ist, sobald mod. \(x <\) mod. \(y\); und dass jede gegebene Funktion \(f (z)\), welche eindeutig und stetig ist, so lange mod. \(z\) kleiner als eine reelle Constante \(R\) bleibt, sich darstellen lässt in der Form: \[ f (z) = \sum^{n = \infty}_{n = 0} \alpha_n J^n (z), \] wo \[ \alpha_n = \frac{\varepsilon_n}{2 \pi i}\int_{(r)} f (z)0^n (z) dz, \] und die Integration positiv über einen um \(z = 0\) mit \(r<R\) beschriebenen Kreis erstreckt wird.
Die vorliegende Untersuchung wurde angeregt durch die von Herrn E. Lommel (Studien über die Bessel’schen Funktionen. Leipzig 1869 p. 50 s. Fortschr. d. M. I. p. 139; JFM 01.0139.03) ausgesprochene Vermuthung, dass für eine grade Funktion \(f(z)\) auch eine Entwickelung möglich sein dürfte nach den Quadraten der Bessel’schen Funktionen, – oder wie sie Herr Heine (Borchardt J. LXIX. 128, s. Fortschr. d. M.I. 146, JFM 01.0146.01) nennt, Fourier-Bessel’schen oder Cylinder-Funktionen. Herr Neumann gelangt zu dem Resultat: dass für jede grade Funktion \(f(z)\), welche eindeutig und stetig ist, so lange mod. \(z < R\) bleibt, eine solche nach den Quadraten der Fourier-Bessel’schen Funktionen fortschreitende Entwickelung \[ f (z) = \sum^{n = \infty}_{n = 0} k_n [J^n (z)]^2 \] existirt, welche gültig ist für alle der Bedingung mod. \(z < R\) entsprechenden Werthe von \(z.\) Die allgemeine Methode, nach welcher der Verfasser die Coefficienten \(k_n\) einer derartigen Entwickelung bestimmt, beruht auf der Entwickelung des Bruches \(\frac{1}{y^2 - x^2}\) nach den Funktionen \(J^{(n)} (x)\) und anderen Funktionen \(\varOmega^n (y)\), welche definirt sind durch die Formel: \[ \varOmega^n (z) = \frac{1}{z^2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4n^2}{z^4} + \frac{1.2}{3.4} \cdot \frac{4n^2 (4n^2 - 2^2)}{z^6} + \frac{1.2.3}{4.5.6} \cdot \frac{4n^2 (4n^2 - 2^2)(4n^2 - 4^2)}{z^8} + \cdots \cdot; \] es ergiebt sich \[ k_n = \frac{E_n}{2 \pi i} \int_{(r)} f(z) \varOmega^n (z).zdz. \] Hieran schliessen sich einige Relationen für die Quadrate der Fourier-Bessel’schen Funktionen und weitere Untersuchungen über die durch Differentiation der für \(\frac{1}{y^2 - x^2}\) gefundenen Summe, woraus dann Sätze für die Entwickelung ungrader Funktionen folgen, welche den oben für grade Funktionen hergeleiteten ganz analog sind.

MSC:

33C10 Bessel and Airy functions, cylinder functions, \({}_0F_1\)
30B99 Series expansions of functions of one complex variable