On surfaces with families of rational curves. (Ueber Flächen, welche Schaaren rationaler Curven besitzen.) (German) JFM 02.0616.02

Nöther, Max

Clebsch Ann. III, 161-226 (1870).

Diese Abhandlung betrachtet vorzugsweise diejenigen Flächen, aus denen ein Flächenbüschel eine Schaar von rationelen Curven ausschneidet, das heisst, von solchen Curven, deren Coordinaten sich als raionale Functionen eines Parameters darstellen lassen. Das Problem der Abbildung solcher Flächen auf Kegelflächen oder specieller auf Ebenen wird zuerst für den Fall gelöst, dass die Curven der Schaar von ungrader Ordnung oder auch von der \(2n^{ten}\) Ordnung mit \((2n-1)\) fachen Punkte sind. Erfüllen die Flächen diese Bedingung nicht, so lassen sie sich auf einfachere Flächen \(\varphi\) zurückführen, welche, von der \(m^{ten}\) Ordnung, eine \((m-2)\) fache Gerade besitzen, von einer Ebene im allgemeinen, aber in mehreren Kegelschnitten geschnitten werden. Auch für diese Flächen \(\varphi\) wird die Abbildung auf einer Ebene untersucht, und namentlich die Abbildung der auf ihnen liegenden \((n-2)\) fachen Geraden eingehend erörtert.
Der zweite Theil der Abhandlung wendet die im ersten Theile entwickelte eigenthümliche Methode der Abbildung auf einer Ebene auf drei speciellere Flächenarten an, und zwar zuerst auf die windschiefe Fläche \(n^{ter}\) Ordnung mit einer \((n-1)\) fachen Geraden. Bei dieser geschieht die Abbildung durch die Projection aus einem Punkte \(P\) der vielfachen Geraden auf die Bildebene, wobei die vielfache Gerade zu einem \((n-1)\) fachen Fundamentalpunkte \(A\) wird, die \(n-1\) von \(P\) ausgehenden Geraden der Fläche zu ebenso vielen einfachen Fundamentalpunkten \(B\) werden, und die dreifach unendliche Schaar von ebenen Curven der Fläche zu einer dreifach unendlichen Schaar von Curven \(n^{ter}\) Ordnung mit einem \((n-1)\) fachen Punkte in \(A\) und \(n-1\) einfachen festen Punkten in \(B\) wird. Die zweite Anwendung besteht darin, durch Projection, die auch von Herrn Clebsch in anderer Weise behandelte Fläche fünfter Ordnung, welche ein Raumcurve vierter Ordnung zur Doppelcurve hat, auf eine Fläche \(\varphi\) zu reduciren. Endlich werden die Eigenschaften und die Abblidung einer Fläche von der \(6^{ter}\) Ordnung mit einer doppelten Raumcurve dritter Ordnung und einer diese nicht schneidenden Doppelgeraden ausfühlich erörtert.

Reviewer: Schubert, Dr. (Hildesheim)

MSC:

51N20

Euclidean analytic geometry

JFM Section:

Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie. Capitel 5. Verwandtschaft, eindeutige Transformation, Abbildung.

Keywords:

surface; rational curves; mapping