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Théorie générale des mouvements qui sont propagés dans un canal rectangulaire horizontal. (French) JFM 03.0486.02

In beiden Arbeiten (siehe auch JFM 03.0486.01) handelt es sich um die Fortpflanzung von Wellen in einem horizontalen Kanal; es werden für diesen Fall unter gewissen vereinfachenden Annahmen Integrale der hydrodynamischen Gleichungen abgeleitet, die mit empirischen Formeln übereinstimmen. Diese vereinfachenden Annahmen sind: 1) die Bewegungen des Wassers sind in der ganzen Breite des horizontalen Kanals dieselben, so dass es genügt, die Bewegung in einer Verticalebene \(xy\) zu betrachten. 2) Von den Geschwindigkeitscomponenten \(u\), \(v\) ist die erstere auf irgend einer Verticalen \(x\) = const. nahezu constant. 3) Es findet keine Reibung statt, man kann daher \(u\), \(v\) als die partiellen Differentialquotienten einer Function \(\varphi\), des Geschwindigkeitpotentials, betrachten. In der ersten Arbeit wird noch die speciellere Annahme hinzugefügt, \(u\) sei eine Function von \(y\) und \(x - wt\), d. h. die im Kanal sich fortpflanzende Welle soll sich mit constanter Fortpflanzungsgeschwindigkeit \(w\) ausbreiten und ihre Form dabei nicht ändern. Die erste Arbeit behandelt somit nur einen speciellen Fall der zweiten. In dieser wird das Geschwindigkeitspotential \(\varphi\) nach Potenzen von \(y\) nach dem Taylor’schen Satze entwickelt. Die dadurch gewonnenen Ausdrücke für \(\varphi\), \(u\), \(v\) werden in die für die freie Oberfläche geltenden Gleichungen eingesetzt, welche aussagen, 1) dass der Druck an der freien Oberfläche = 0 ist, 2) dass stets dieselben Molecüle an der Oberfläche bleiben. So ergeben sich zwei partielle Differentialgleichungen zur Bestimmung der horizontalen Geschwindigkeit am Grunde und der Höhe eines Oberflächenmolecüls über dem Niveau im Ruhezustande. Diese Differentialgleichungen werden näherungsweise integrirt, indem zuerst nur ein Glied der Reihe für \(\varphi\) berücksichtigt, dann das nächste hinzugenommen, aber als klein gegen das erste behandelt wird, etc. Den Schluss bilden Vergleichungen mit Beobachtungen.

MSC:

35-XX Partial differential equations

Citations:

JFM 03.0486.01
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Full Text: Gallica