Burton, David M. Elementary number theory. (English) Zbl 0314.10001 Boston, Mass. etc.: Allyn and Bacon, Inc. ix, 358 p. (1976). Nimmt man dieses Buch zur Hand, so erhält man eine gute Einführung in die elementare Zahlentheorie und eine Mitteilung vieler interesanter Einzelheiten aus dem Gebiet; wenn es darauf ankommt, nach dem neuesten Stand. Dazu kommen noch einige beachtliche historische Notizen, die in passender Weise am Aufbau des Buches mitbeteiligt sind. Es ist dem Autor und seinem Mitarbeiterstab trefflich gelungen, eine zugleich breite und tiefe Darstellung zu geben. Ohne auf die Axiomatik der natürlichen Zahlen näher einzugehen, was keineswegs einen Mangel darstellt (dabei wäre nur die Herleitung der Induktion verschärfenswert), bringt das Buch die Grundtatsachen, hierauf die Teilbarkeitstheorie, Primzahlverteilung, Kongruenzen, den kleinen Fermatschen Satz, dessen Verallgemeinerung von Euler und den Wilsonschen Satz, zahlentheoretische Funktionen, darunter besonders etliche Eigenschaften der Eulerschen \(\varphi\)-Funktion. Hierauf folgen Primitivwurzeln und Indizes, das quadratische Reziprozitätsgesetz mit dem kurzen geometrischen Beweis aus dem Gaußschen Lemma, Legendre- und Jacobi-Symbol; sodann perfekte Zahlen und Mersennesche Primzahlen, Fermatsche Zahlen und das große Fermatproblem, die Darstellung natürlicher Zahlen als Quadratsummen und schließlich die Fibonaccischen Zahlen und Kettenbrüche. Darüber hinaus bringt ein Anhang den Primzahlsatz mit Abschätzungen der Primzahlen-Anzahl-Funktion \(\pi(x)\), sowie einige Tabellen: die kleinsten Primitivwurzeln der Primzahlen unter 1000, die kleinsten Primfaktoren der ungeraden Zahlen unter 5000, die Primzahlen zwischen 5000 und 10000, die Anzahl der Primzahlen in gewissen Intervallen und schließlich die Quadrate und Kuben der Zahlen bis 499. Besonders hervorgehoben seien noch die Übungsaufgaben, die oft weitere interessante Kenntnisse vermitteln. Auch außerhalb des Hauptrahmens ist so manches Interessante notiert. Am Anfang steht eine Lebenstafel der bekanntesten um die Zahlentheorie verdienten Mathematiker. Jedes Kapitel ist durch einen passenden Ausspruch eines Mathematikers oder einer sonstigen großen Persönlichkeit eingeleitet, was ebenfalls sehr auflockernd wirkt. Zusammenfassend gesagt, handelt sich um ein sehr empfehlenswertes Buch, das in hervorragender Weise geeignet ist, den Leser vom Wert der Zahlentheorie zu überzeugen und der Zahlentheorie Freunde zu gewinnen. Reviewer: Alexander Aigner (Graz) Page: −5 −4 −3 −2 −1 ±0 +1 +2 +3 +4 +5 Show Scanned Page Cited in 3 ReviewsCited in 14 Documents MSC: 11-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to number theory 11Axx Elementary number theory 11-03 History of number theory 11B39 Fibonacci and Lucas numbers and polynomials and generalizations 11D41 Higher degree equations; Fermat’s equation 11D85 Representation problems Keywords:elementary number theory; tables PDF BibTeX XML OpenURL Online Encyclopedia of Integer Sequences: Inverse Moebius transform applied twice to natural numbers. Dirichlet inverse of Euler totient function (A000010). Primes of the form j^2 + (j+1)^2. 1 together with numbers of the form p*q^4 and p^9, where p and q are primes. Numbers k such that phi(k) is a perfect square. Sum_{d|2n+1} phi(d)*mu(d). a(n) = Sum_{k=1..n} n/gcd(n,k). If n = Product p_i^e_i then a(n) = Product (1 + 2*p_i + 3*p_i^2 + ... + (e_i+1)*p_i^e_i). a(n) = sigma(n)*phi(n). a(n) = d(n) * phi(n), where d(n) is the number of divisors function. a(n) = floor(n/phi(n)). a(n) = floor of Sum_{ d divides n } phi(d)/d. Squares arising in A039770. a(n) = 2^(2^n)+5. Number of distinct prime divisors of 2^(2^n)-1 (A051179).