Zeta-functions and quadratic fields. An introduction into higher number theory. (Zetafunktionen und quadratische Körper. Eine Einführung in die höhere Zahlentheorie.) (German) Zbl 0459.10001

Zagier, Don B.

Hochschultext. Berlin - Heidelberg - New York: Springer-Verlag. ix, 144 S., 8 Abb. DM 28.00; $ 12.80 (1981).

In seinem Vorwort schreibt der Verf.: ,,Das Ziel dieses Buches ist, die Theorie der binären quadratischen Formen, die im letzten Jahrhundert in ihren algebraischen Aspekten von Gauß und in ihren analytischen Aspekten von Dirichlet entwickelt wurde, darzustellen. Diese Theorie, die früher zur normalen Ausbildung in der Mathematik gehörte, wird heute den Studenten oft nur als Beispiel für die moderne algebraische Zahlentheorie, analytische Zahlentheorie oder Klassenkörpertheorie präsentiert. Da sie aber eine große Schönheit besitzt und außerdem elementar zugänglich ist, halte ich es für zweckmäßig, sie umgekehrt als Einführung in die genannten Gebiete zu benutzen, die ja historisch aus ihr hervorgegangen sind. ...
Das Buch basiert auf Vorlesungen in Bonn (SS 1975) und Harvard (WS 1977) und ist als Vorläufer eines umfassenderen Buches auf Englisch gedacht.”
Teil I trägt den Titel ’Dirichletsche Reihen’. In ihm werden die analytische Theorie der Dirichletschen Reihen und ihre formalen Eigenschaften, die Gammafunktion, die Riemannsche Zetafunktion, Charaktere, \(L\)-Reihen, Werte von Dirichletschen Reihen, insbesondere von \(L\)-Reihen, an negativen ganzen Stellen, behandelt.
Teil II trägt den Titel ’Quadratische Körper und ihre Zetafunktionen’. In ihm werden die Theorie der binären quadratischen Formen, ihr Zusammenhang mit den quadratischen Zahlkörpern und verschiedene algebraische und analytische Aspekte dieser Theorie dargestellt: die Berechnung von \(L(1,\chi)\) und die Klassenzahlformeln, die Zetafunktion eines quadratischen Körpers, Geschlechtertheorie, Reduktionstheorie, Werte von Zetafunktionen bei \(s =0\), Kettenbrüche und Klassenzahlen.
Inhaltlich besonders hervorgehoben zu werden verdienen in die systematische Darstellung eingearbeitete Originalbeiträge des Autors: Die am Ende von §13 beschriebene Zerlegung der Zetafunktion einer Idealklasse in einem reellquadratischen Körper mit Hilfe der Reduktionstheorie und in §14 ihre Anwendung auf die Berechnung der Werte dieser Zetafunktionen bei \(s=0\) sowie der Zusammenhang zwischen Dedekindschen Summen und Kettenbrüchen.
Zahlreiche, teilweise recht interessante, Übungsaufgaben am Ende jedes Paragraphen geben dem Leser Gelegenheit, tiefer in die Materie einzudringen. Bei aller Systematik werden auch die historischen Zusammenhänge nicht vernachlässigt, sei es durch einen erläuternden Text, sei es durch einschlägige Literaturhinweise.
Nach Meinung des Referenten gibt das Buch eine überaus sorgfältig geschriebene, interessante, elementar gehaltene Darstellung eines Herzstücks der klassischen Zahlentheorie mit Blick auf neuere Entwicklungen, in der sich Kompetenz und Erfahrung ihres Autors widerspiegeln. Hoffentlich wird die geplante englische Version genauso gut!

Reviewer: Hans Opolka (Braunschweig)

MSC:

11-01	Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to number theory
11Exx	Forms and linear algebraic groups
11Mxx	Zeta and \(L\)-functions: analytic theory
11Rxx	Algebraic number theory: global fields
11E41	Class numbers of quadratic and Hermitian forms
11E45	Analytic theory (Epstein zeta functions; relations with automorphic forms and functions)
11H55	Quadratic forms (reduction theory, extreme forms, etc.)
11M06	\(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\)
11M35	Hurwitz and Lerch zeta functions
11D09	Quadratic and bilinear Diophantine equations
11A55	Continued fractions
11R11	Quadratic extensions
11R29	Class numbers, class groups, discriminants
11R42	Zeta functions and \(L\)-functions of number fields
11R80	Totally real fields

Keywords:

binary quadratic forms; quadratic fields; class number; zeta-functions; Dirichlet series; Riemann zeta-function; values at negative integers