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Correction on the subject of the preceding memoir. (Rectification au sujet du mémoire précédent.) (French) JFM 05.0231.04

Bull. de Belg. (2) XXXV. 709-717 (1873).
I. Der erste Theil der Abhandlung des Herrn Gilbert ist einer Prüfung des Princips der Condensation der Singularitäten von Hankel (Untersuchungen über die unendlich oft oscillirenden und unstetigen Functionen, Tübingen 1870, siehe F. d. M. II, p. 190, JFM 02.0190.01) gewidmet. Er zeigt zunächst, dass Hankel mit Unrecht Gauss, Jacobi und Dirichlet für seine Anschauung citirt und weist dieselbe dann auf folgende Weise zurück: Es sei \(\varphi y\) eine Function von \(y\), continuirlich zwischen \(-1\) und \(+1\), ausser für \(y=0\), wo \(\varphi y=0\). Man setze voraus, dass \(\varphi y\) zwischen \(-1\) und \(+1\) einen einzigen Werth zwischen \(-1\) und \(+1\) habe. Die Function \[ fx=\sum_{1}^{\infty}\frac{\varphi (\sin n \pi x)}{n^s}, s>3 \] ist continuirlich. Nach Hankel hat man, wenn \(x\) incommensurabel ist, \[ \frac{f(x+\varepsilon)-fx}{\varepsilon} = \pi \sum_{1}^{\infty} \frac{\varphi '| \sin n(x+\theta \varepsilon)\pi|}{n^{s-1}} \cos n(x+\theta \varepsilon)\pi+\frac{h'}{\varepsilon m^{s-1}}, \] wo \(h'\) genommen ist zwischen \(-1\) und \(+1\) und \(\theta\) zwischen 0 und 1. Wenn man \(\varepsilon\) und \(m\) so wählt, dass \(m\varepsilon\) Null zur Grenze hat und \(\varepsilon m^{s-1}\) unbegrenzt wächst, wenn \(m\) wächst, wenn \(\varepsilon\) unbegrenzt abnimmt, so hat man, nach Hankel. \[ f'x=\pi \sum_{1}^{\infty}\frac{\varphi '|\text{sin}n\pi x|}{n^{s-1}} \cos n\pi x. \] Dieser Schluss ist indess nach Herrn Gilbert nicht sicher, denn die Grenze der Summe einer unbegrenzt wachsenden Zahl von Gliedern ist nicht immer die Summe der Grenzen dieser Glieder. Dasselbe falsche Princip ist die Grundlage der Untersuchung von \(f'x\) in dem Fall, wo \(x\) commensurabel ist. Herr Gilbert zeigt sodann in einem speciellen Fall, nämlich \(\varphi y= y^{\frac{2}{3}}\), dass Hankel’s Schlüsse irrthümlich sind.
II. Der zweite Theil der Arbeit enthält einen Versuch zum Beweis von der Existenz der Derivirten in den continuirlichen Functionen einer Variabeln. Die befolgte Methode ist dieselbe, wie die von Lamarle in der zu wenig bekannten Abhandlung von 1855 in Bd. XXIX der Mém. de l’Ac. de Brux. Die Reihenfolge der vom Verfasser aufgestellten Sätze ist folgende: 1) Das Increment einer continuirlichen Function \(fx\) bleibt schliesslich beständig von demselben Zeichen, wenn das Increment der Variabeln gegen Null geht. In der Taht, wenn es anders wäre, könnte jedes Increment der Function betrachtet werden als eine Summe von lauter positiven und negativen Incrementen. 2) Das definitive Zeichen des Increments einer continuirlichen Function bleibt für alle Werthe von \(x\) in einer bestimmten Grenze dasselbe, denn sonst könnten zwei Incremente \(f(X)-fx, f(X)-fx_0\), wo \(x_0\) dem \(x\) unendlich nahe liegt, von entgegengesetztem Vorzeichen sein. 3) Es ist unmöglich, dass das Verhältniss \(\frac{k}{h}\) beständig gegen Null convergirt für alle Werthe von \(x\), genommen innerhalb eines beliebig kleinen, bestimmten Intervalls, oder für discontinuirliche Werthe, die sich ohne bemerkenswerthes Intervall zwischen zwei gegebenen Grenzen folgen; \(k=f(x+h)-fx\). In der That, man hat im Allgemeinen \(f(X)-fx_0\) gleich einem Mittleren zwischen den Werthen von \(\frac{k}{h}\) in dem Intervall von \(x_0\) bis \(x\), woraus der Satz leicht folgt. 4) Es ist unmöglich, dass man allgemein hat lim\(\frac{k}{h}=\infty\) in einem bestimmten stetigen Intervall, oder für Werthe, die sich ohne bemerkenswerthes Intervall folgen. 5) Es ist unmöglich, dass für alle Werthe von \(x\), genommen in einem gegebenen Intervall \((x_0,X)\), oder für discontinuirliche Werthe, bei möglichster Annäherung, in diesem Intervall, das Verhältniss \(\frac{k}{h}\) unbegrenzt zwischen zwei verschiedenen Werthen oscillire ohne gegen irgend eine feste Grenze zu convergiren, wenn \(h\) gegen Null convergirt. Dieser Satz bildet den wesentlichen Theil der Arbeit des Herrn Gilbert sowohl wie der von Lamarle. Der Gang des Beweises für den einfachsten Fall ist folgender: a) Wenn \(\frac{f}{h}\) unendlich oft zwischen zwei verschiedenen Werthen für einen gegebenen Werth von \(x\) oscillirt, existirt immer ein Werth des Increments \(h'\), so dass die grössten Werthe von \(\frac{k}{h}\) für \(h\) zwischen 0 und \(h'\) eine gewisse Grenze \(L_x\) nur um eine Grenze \(\varepsilon\) überschreiten, wo \(\varepsilon\) im Voraus sehr klein gegeben ist; ferner wird sich für eine unendliche Anzahl von Werthen von \(h\), die kleiner als \(h'\), \(\frac{k}{h}\) von \(L_x\) um weniger als \(\varepsilon\) unterscheiden. Eine analoge Grösse \(l_x\) existirt für die kleinsten Werthe von \(\frac{k}{h}\). b) Die Grössen \(L_x\) und \(l_x\) sind continuirliche Functionen von \(x\). c) Man hat \[ \frac{f(x)-fx_0}{X-x_0}=L\; \text{und}\; =l, \] wo \(L\) und \(l\) einen mittleren Werth zwischen \(L_x \pm 2 \varepsilon\) und \(l_x \pm 2 \varepsilon\) in dem Intervall \((x_0, X)\) bezeichnen. Da dieser Schluss absurd wäre, ist Satz 5) bewiesen. Endlich folgt aus den Sätzen 3), 4), 5), dass die continuirlichen Functionen im Allgemeinen eine Derivirte haben.
III. Die Berichtigung des Herrn Gilbert betrifft einen Fehler in dem Beweise der 5 obigen Sätze, der für den Satz 4) auseinandergesetzt wird. Wenn \(\frac{k}{h}\) unbegrenzt wächst, geibt es einen Werth \(h=F(x, R)\), für den \(\frac{k}{h}\) grösser ist als eine Grösse \(R\) und so beschaffen, dass dieselbe Eigenschaft auch für die Werthe gilt, die kleiner sind als \(h\). Wenn \(h'\) für Werthe von \(x\), die sich ohne bemerkenswerthen Unterschied folgen, gegen Null convergirt, gilt der Beweis des Satzes 4) nicht mehr. Ein ähnlicher Einwand kann gegen die übrigen Sätze erhoben werden. Trotz dieses Einwandes glaubt der Berichterstatter, dass die Methode von Gilbert und Lamarle zur Auffindung von Bedingungen für die Existenz der Derivirten führen kann. Nach demselben kann man die Antwort auf den Einwand aus einer besseren Definition der Continuität herleiten.
Herr Gilbert giebt ferner ein sehr einfaches Beispiel einer continuirlichen Function, die eine unendliche Anzahl von unbegrenzt genäherten Werthen hat, denen keine Derivirten entsprechen. Dies Beispiel ist das folgende: \[ fx =\sum_{0}^{\infty} \frac{\varphi(2^n x)}{2^{2n}}, \quad \varphi x=E(x) +\sqrt{x-E(x)}, \] wo \(E(x)\) die grösste in \(x\) enthaltene ganze Zahl bezeichnet. Man findet, dass \(f'x\) 2 Werthe hat, deren einer unendlich ist für alle Werthe von \(x\), die der Formel \(x=\frac{m'}{2^m}\) (\(m'\) und \(m\) ganze Zahlen) entnommen sind.
Das Beispiel rührt von Schwarz her und ist von ihm publicirt in den ,,Archives des sciences naturelles de Genève en 1873“.
IV. Der Bericht von Herrn Catalan enthält ausser einer Analyse der Arbeit des Herrn Gilbert folgende Bemerkung.
Die Curve \[ y=\frac{1}{n} \sum_{m=1}^{m=n} (\frac{m}{n}-x)\sin{\frac{1}{\frac{m}{n}-x}} \] hat eine unbestimmte Tangente in den Punkten, deren Abscissen sind \[ x=\frac{1}{n},\;\; \frac{2}{n},\;\ldots \frac{n}{n}. \] Wird die Curve \(Y=\lim y\), für \(n=\infty\) nicht unendlich viel ähnliche Punkte in dem Intervall 0 bis 1 haben? Herr Gilbert hat darauf geantwortet, indem er zeigt, dass \[ Y=\int_{x-1}^{x}\sin \frac{1}{z}dz,\;\; Y'=x \sin \frac{1}{x}-(x-1) \sin \frac{1}{x-1}. \] Die Curve \(y\) besitzt eine Zahl \(n\) endlicher Oscillationen von \(\frac{\varDelta y}{\varDelta x}\). Wenn diese Zahl von Oscillationen in’s Unendliche wächst, convergirt jede von ihnen gegen Null, woraus sich das Verschwinden der Punkte mit unbestimmter Tangente für die begrenzte Curve erklärt. siehe auch JFM 05.0231.01, JFM 05.0231.02, JFM 05.0231.03

MSC:

26A27 Nondifferentiability (nondifferentiable functions, points of nondifferentiability), discontinuous derivatives