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Topologie und Geometrie von 3-Mannigfaltigkeiten. (English) Zbl 0542.57002
In diesem Bericht wird ein historisch orientierter und gut verständlicher Überblick über die Theorie der 3-Mannigfaltigkeiten gegeben. In § 1 werden verschiedene Präsentationen von 3- Mannigfaltigkeiten erläutert und das Klassifikations- und Homöomorphismusproblem diskutiert. Da Flächentheorie und Theorie der 3-Mannigfaltigkeiten eng verknüpft sind, wird in § 2 zunächst die Flächentheorie besprochen. Insbesondere wird das Studium der Isotopieklassen von Flächenhomöomorphismen beschrieben, das von Nielsen und Teichmüller initiiert und unter anderem von Zieschang, Kerckoff, Bers und Thurston fortgeführt wurde.
In § 3 wird die von Haken entwickelte Theorie der Normalflächen in einer 3-Mannigfaltigkeit skizziert, und nachdem der Sphärensatz, Schleifensatz und das Dehnsche Lemma erklärt werden, wird in § 4 die Beweisidee zu Waldhausens Satz (daß Homotopie-Äquivalenzen zwischen geschlossenen Haken-Mannigfaltigkeiten homotop zu Homöomorphismen sind) angegeben. In § 5 wird die vom Autor entwickelte Theorie der charakteristischen Untermannigfaltigkeiten beschrieben mit Anwendungen auf das Klassifikationsproblem und die Abbildungsklassen. In § 6 wird auf die Arbeiten von Thurston über geometrische Strukturen hingewiesen und werden die neuen Entwicklungen angedeutet, die zur Lösung der Smith-Vermutung führten.
Reviewer: W.Heil

MSC:
57-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to manifolds and cell complexes
57N10 Topology of general \(3\)-manifolds (MSC2010)
57M35 Dehn’s lemma, sphere theorem, loop theorem, asphericity (MSC2010)
57N05 Topology of the Euclidean \(2\)-space, \(2\)-manifolds (MSC2010)
57R50 Differential topological aspects of diffeomorphisms
51M10 Hyperbolic and elliptic geometries (general) and generalizations
57M05 Fundamental group, presentations, free differential calculus
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