Une équivalence de catégories. Une autre équivalence de catégories. (French) Zbl 0566.32021

Mebkhout, Z.

Compos. Math. 51, 51-62, 63-88 (1984).

Dans ces deux articles, dont le premier est la reproduction textuelle du chapitre V de la thèse de doctorat de l’A. pour lui garder son caractère original: ”Cohomologie locale des espaces analytiques complexes”, Univ. Paris VII (1979; Zbl 0455.32006) et dont le second est un complément naturel, on étudie les complexes réguliers définis à l’aide du théorème de comparaison de A. Grothendieck [Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci. 29, 95-103 (1966; Zbl 0145.176)]. Le résultat essentiel est une interprétation des coefficients discrets constructibles en termes de coefficients continus à savoir les complexes holonomes réguliers dans l’esprit de Grothendieck. De façon précise: Soit (X,\({\mathcal O}_ X)\) une variété analytique complexe, \({\mathcal D}_ X\) (resp. \({\mathcal D}_ X^{\infty})\) le faisceau des opérateurs différentiels à coefficients holomorphes d’ordre fini (resp. d’ordre infini), \(D^ b({\mathcal D}_ X)_ h\) (resp. \(D^ b({\mathcal D}_ X^{\infty})\), resp. \({\mathcal D}^ b({\mathbb{C}}_ X)_ c)\) la sous catégorie de la catégorie dérivée des \({\mathcal D}_ X\)- modules (resp. \({\mathcal D}_ X^{\infty}\)-, resp. \({\mathbb{C}}_ X\)- modules), des complexes à cohomologie bornée \({\mathcal D}_ X\)-holonome (resp. \({\mathcal D}_ X^{\infty}\)-holonome, resp. \({\mathbb{C}}_ X\)- constructible). Il résulte du théorème de construcibilité [cf. M. Kashiwara, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 10, 563-579 (1975; Zbl 0313.58019)] que l’on a un diagramme essentiellement commutatif de foncteurs entre catégories dérivées: \(D^ b({\mathcal D}_ X)_ h\to^{{\mathcal S}}D^ b({\mathbb{C}}_ X)_ c,D^ b({\mathcal D}_ X)_ h\to^{{\mathcal I}}D^ b({\mathcal D}_ X^{\infty})_ h\to^{{\mathcal F}}D^ b({\mathbb{C}}_ X)_ c,\quad {\mathcal S}={\mathcal F}\circ {\mathcal T},\) où S(\({\mathcal M}):=R\hom_{{\mathcal D}_ X}({\mathcal M},{\mathcal O}_ X)\) (resp. F(\({\mathcal M}^{\infty}):=R\hom_{{\mathcal D}_ X^{\infty}}({\mathcal M}^{\infty},{\mathcal O}_ X)\), resp. T(\({\mathcal M}):={\mathcal D}_ X^{\infty}\otimes_{{\mathcal D}_ X}{\mathcal M})\). Le complexe de de Rham d’un complexe \({\mathcal M}\) de \(D^ b({\mathcal D}_ X)\) est par définition: \(DR({\mathcal M}):=R\hom_{{\mathcal D}_ X}({\mathcal O}_ X,{\mathcal M}).\) Pour un complexe \({\mathcal M}\) de \(D^ b({\mathcal D}_ X)_ h\) le thèoréme de dualité locale [l’A., Ark. Mat. 20, 111-124 (1982; Zbl 0525.32025)] affirme que DR(\({\mathcal M})\) est isomorphe au dual de A. Grothendieck [Sémin. Géom. algébr. 1965-66, SGA 5, Lect. Notes Math. 589, exposé I, 1-72 ’1977; Zbl 0356.14004)] de S(\({\mathcal M}):\) \(DR({\mathcal M})\overset \sim \rightarrow (S({\mathcal M}))^{\vee}:=R\hom_{{\mathbb{C}}_ X}(S({\mathcal M}),{\mathbb{C}}_ X).\) Soit un sous espace analytique fermé Y de X défini par un Idéal \({\mathcal I}_ Y\) et \({\mathcal M}\) un complexe de \(D^ b({\mathcal D}_ X)\). On définit avec Grothendieck le complexe de cohomologie locale algébrique (loc. cit.) \(R\Gamma_ Y({\mathcal M})_{alg}:=R \lim_{\vec k} \hom_{{\mathcal O}_ X}({\mathcal O}_ X/{\mathcal I}_ Y^ k,{\mathcal M}).\) C’est un complexe de D(\({\mathcal D}_ X)\) est si \({\mathcal M}\) est à cohomologie holonome il résulte de la théorie du polynôme de Bernstein-Sato [cf. l’A., Publ. Res. Inst. Math. Sci., Kyoto Univ. 12, Suppl. 247-256 (1977; Zbl 0372.32007)] que \(R\Gamma_ Y({\mathcal M})_{alg}\) appartient à \(D^ b({\mathcal D}_ X)_ h\). On a un morphisme \(R\Gamma_ Y({\mathcal M})_{alg}\to R\Gamma_ Y({\mathcal M})\) qui induit un morphisme \(a_ Y({\mathcal M}): DR(R\Gamma_ Y({\mathcal M})_{alg})\to DR(R\Gamma_ Y({\mathcal M})).\)
On dit que \({\mathcal M}\) est régulier le long de Y si \(a_ Y({\mathcal M})\) est un isomorphisme [l’A., Ark. Mat. (loc. cit.)]. On dit que \({\mathcal M}\) est régulier si \(a_ Y({\mathcal M})\) est un isomorphisme pour tout Y. On note \(D^ b({\mathcal D}_ X)_{hr}\) la sous catégorie des complexes réguliers. C’est une sous catégorie pleine et triangulée de \(D^ b({\mathcal D}_ X)_ h\). La régularité se teste le long des diviseurs et requière souvent la résolution des singularités d’Hironaka. Le résultate fondamental de l’A. [Publ. Res. Inst. Math. Sci., Kyoto Univ. 12, Suppl. (loc. cit.)] affirme que le système de de Rham \({\mathcal O}_ X\) appartient à \(D^ b({\mathcal D}_ X)_{hr}\). Nous appelerons, suivant le point de vue de Grothendieck, ”coefficient de de Rham” un objet de \(D^ b({\mathcal D}_ X)_{hr}:\) suivant la terminologie de Grothendieck le théorème précédent de l’auteur s’énonce: ”le système de de Rham \({\mathcal O}_ X\) est un coefficient de de Rham”. Nous noterons \({\mathcal S}_ r\) (resp. \({\mathcal T}_ r)\) la restriction du foncteur \({\mathcal S}\) (resp. \({\mathcal T})\) aux coefficients de de Rham. On a alors un diagramme essentiellement commutatif de foncteurs: \(D^ b({\mathcal D}_ X)_{hr}\to^{{\mathcal S}_ r}D^ b({\mathbb{C}}_ X)_ c\), \(D^ b({\mathcal D}_ X)_{hr}\to^{{\mathcal T}_ r}D({\mathcal D}_ X^{\infty})_ h\to^{{\mathcal F}}D^ b({\mathbb{C}}_ X)_ c\) avec \({\mathcal S}_ r={\mathcal F}\circ {\mathcal T}_ r.\) Notre resultat essentiel est que c’est l’a un diagramme d’équivalences de catégories. De plus le foncteur \({\mathcal F}\) admet un quasi-invers explicite \({\mathcal G}\) qui à un complexe constructible \({\mathcal F}\) associe le complexe \(R\hom_{{\mathbb{C}}_ X}({\mathcal F},{\mathcal O}_ X)\). Le fait que ce dernier complexe appartient à \(D^ b({\mathcal D}_ X^{\infty})_ h\) repose sur toute la force du foncteur \({\mathcal S}_ r\) comme expliqué dans le § 2 (question \(HR'_ 1\) et \(HR'_ 2)\) de l’exposé introductif du l’A. dans Complex analysis, microlocal calculus and relativistic quantum theory, Lect. Notes Phys. 126, 90-110 (1980; Zbl 0444.32003). Des résultats précédents on en déduit facilement (Deligne) que l’image essentielle par le foncteur \({\mathcal S}_ r\) des coefficients de de Rham réduits à un \({\mathcal D}_ X\)-module est formée par la sous- catégorie des complexes constructibles ayant la propriété de support \((\dim \sup p h^ i({\mathcal F})\leq \dim X-i)\) et de cosupport \((\dim \sup p h^ i({\mathcal F}^{\vee})\leq \dim X-i)\) (si \({\mathcal F}\) est un complexe on note \(h^ i({\mathcal F})\) son i-ème faisceau de cohomologie).
La démonstration de notre résultat est une synthèse de la démonstration du théorème de comparaison de Grothendieck (loc. cit.) et de la démonstration de la constructibilité du \(R\hom_{{\mathbb{C}}_ X}({\mathcal F},{\mathcal G})\) pour deux complexes constructibles dû à A. Grothendieck [SGA 5, exposé I (loc. cit.)] qui utilisent toutes les deux la force du théorème d’Hironaka qui nous ramène à l’extension canonique de Deligne dans une situation d’un diviseur à croisement normaux [P. Deligne, ”Equations différentielles à points singuliers réguliers”, Lect. Notes Math. 163 (1970; Zbl 0244.14004)].

MSC:

32L10	Sheaves and cohomology of sections of holomorphic vector bundles, general results
58J10	Differential complexes
14F40	de Rham cohomology and algebraic geometry
55R65	Generalizations of fiber spaces and bundles in algebraic topology
18A40	Adjoint functors (universal constructions, reflective subcategories, Kan extensions, etc.)
18F20	Presheaves and sheaves, stacks, descent conditions (category-theoretic aspects)
14F10	Differentials and other special sheaves; D-modules; Bernstein-Sato ideals and polynomials
32L05	Holomorphic bundles and generalizations
32C37	Duality theorems for analytic spaces

Keywords:

constructible sheaf; de Rham complex; sheaf of differential operators with holomorphic coefficients; holonomic D-module; local algebraic cohomology; regular complex; de Rham coefficient; adjoint functor; dual of de Rham cohomoloy

Citations:

Zbl 0455.32006; Zbl 0145.176; Zbl 0313.58019; Zbl 0525.32025; Zbl 0356.14004; Zbl 0372.32007; Zbl 0444.32003; Zbl 0244.14004

References:

[1]	P. Deligne : Equations différentielles à points singuliers réguliers . Lecture Notes in Mathematics. 163. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York (1970). · Zbl 0244.14004 · doi:10.1007/BFb0061194
[2]	A. Gorthendieck : On the De Rham cohomology of algebraic varieties . Publ. Math. I.H.E.S. 29 (1966) 95-103. · Zbl 0145.17602 · doi:10.1007/BF02684807
[3]	H. Hironaka : Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero I-II . Ann. Math. 1 et 2 (1964). · Zbl 0122.38603 · doi:10.2307/1970486
[4]	M. Kashiwara : On the maximally overdetermined systems of linear differential equations I . Publ. R.I.M.S. Kyoto University 10 (1975) 563-579. · Zbl 0313.58019 · doi:10.2977/prims/1195192011
[5]	M. Kashiwara : B-functions and holonomic systems . Invent. Math. 38 (1976) 33-53. · Zbl 0354.35082 · doi:10.1007/BF01390168
[6]	N. Katz : An overview of Deligne’s work in Hilbert’s twenty-first problem . Proceeding of symposia in Pure Mathematics A.M.S., volume 28 (1976) 537-557. · Zbl 0347.14010
[7]	B. Malgrange : Sur les point singuliers des équations différentielles . Enseignement Math. 20 (1974) 147-176. · Zbl 0299.34011
[8]	B. Malgrange : Le polynôme de I.N. Bernstein d’une singularité isolée . Lecture Notes in Mathematics. 459, pp. 99-119, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York (1976). · Zbl 0308.32007
[9]	Z. Mebkhout : Local cohomology of analytic spaces . Publ. R.I.M.S. Kyoto University 12 (1977) 247-256 (suppl.). · Zbl 0372.32007 · doi:10.2977/prims/1195196607
[10]	Z. Mebkhout : Cohomologie locale des espaces analytiques complexes . Thèse de doctorat d’état,Université de Paris VII, 126 pages (1979). · Zbl 0455.32006
[11]	J.L. Verdier : Classe d’homologie associée à un cycle. Séminaire Douady-Verdier . Astérisque 36 - 37 (1976) 101-151. · Zbl 0346.14005