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On the Fermat-Catalan equation. (English) Zbl 0577.10016
Verf. betrachtet die Diophantische Gleichung (*) \(x^ m-y^ n=1\), \(x,y\in \mathbb Q\), \(m,n\geq 2\). Da sie für \(m=n\) die Fermat-Gleichung und für \(x,y\in\mathbb Z\) die Catalan-Gleichung ergibt, erklärt sich der Titel der Arbeit. Bekanntlich kennt man für \(n>2\) keine Lösung der Fermat-Gleichung, und die einzige bekannte Lösung der Catalan-Gleichung ist \(| x| =n=3\), \(y=m=2.\)
Eines der elementaren Ergebnisse über das Catalansche Problem stammt von C. Størmer [C. R. Acad. Sci., Paris 127, 752–754 (1898; JFM 29.0160.01)] und besagt, daß es für feste ganze Zahlen \(x,y\) höchstens eine (durch \(x\) und \(y\) effektiv bestimmte) Lösung \(m,n\) gibt.
Einer der großen Fortschritte war der Beweis des Verf. [Acta Arith. 29, 197–209 (1976; Zbl 0286.10013)], daß \(\{(x,y,m,n)\in\mathbb N^ 4\mid x,y,m,n\geq 2\}\) eine endliche Menge ist und sogar eine obere Schranke für die Werte von \(x\) und \(y\) effektiv berechenbar ist.
In der vorliegenden Arbeit berichtet Verf. über ein Theorem, das für die rationalen Lösungen \((x,y)\) von (*) die Zähler von \(x\) und \(y\) durch deren Nenner (in einer expliziten, von \(m\) und \(n\) abhängigen Weise) nach oben und unten beschränkt. Wichtige Hilfsmittel des Beweises sind einerseits die Bakerschen Abschätzungen von Linearformen in Logarithmen, andererseits das Resultat von Faltings, daß (*) für festes \((m,n)\), \(mn\geq 6\) (\(\neq (4,2)\), \((2,4)\), \((3,3)\), \((3,2)\), \((2,3)\)) nur endlich viele rationale Lösungen hat, denn dann besitzt die durch (*) definierte Kurve ein Geschlecht \(\geq 2.\)
Der Artikel basiert auf einem Vortrag des Verf. auf der DMV-Tagung in Köln 1983, so daß die Arbeiten von Heath-Brown und Fouvry über das Fermat-Problem [vgl. D. R. Heath-Brown, Math. Intell. 7, No. 4, 40–47, 55 (1985; Zbl 0574.10022)] noch nicht verwertet werden konnten. Auch P. Ribenboims Geschichte des Catalanschen Problems [Expo. Math. 2, 193–221 (1984; Zbl 0537.10009)] mußte fehlen.
Im übrigen ist die Arbeit reich mit historischen Bemerkungen versehen. Leider wird das oben zitierte Resultat von Størmer wieder einmal W. J. LeVeque [Am. J. Math. 74, 325–331 (1952)] zugeschrieben; vgl. die Besprechung dieser Arbeit durch W. Ljunggren in Zbl 0047.04102.

MSC:
11D61 Exponential Diophantine equations
11D41 Higher degree equations; Fermat’s equation
11J86 Linear forms in logarithms; Baker’s method
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