Die Lagrange-Bürmannsche Formel bei formalen Potenzreihen. (Lagrange-Bürmann formula for formal power series). (German) Zbl 0579.40005

Henrici, P.

Jahresber. Dtsch. Math.-Ver. 86, 115-134 (1984).

Es werden formale Laurentreihen in n Variablen eines Körpers \({\mathcal F}\) mit Charakteristik 0 betrachtet und, als Hauptergebnis, wird eine Verallgemeinerung der klassischen Formel von Bürmann-Lagrange hergeleitet.
Diese neue Formel lautet: für \(R\in L_ n\), \(P\in G^*_ n\) und \(Q=P^{[-1]}\) gilt \(R\circ Q=\sum_{k}res(RP^{-k-e} P')x^ k.\) Dabei werden folgende Bezeichnungen verwendet: 1) Für \(x\in {\mathcal F}^ n\), \(k\in {\mathbb{Z}}^ n\) ist \(x^ k:=\prod^{n}_{j=1}x_ j^{k_ j}\), \(| k| =\sum^{n}_{j=1}k_ j\). 2) \(L_ n\) die Menge der formalen Laurentreihen \(R=\sum_{k\in {\mathbb{Z}}^ n}r_ kx^ k\), \(r_ k\in {\mathcal F}\), mit der Einschränkung, daß für alle \(m\in {\mathbb{Z}}\) die Zahl der Indices k mit \(r_ k\neq 0\) und \(| k| <m\) endlich bleibt. Die Ordnung ord(R) ist min\(\{\) \(k: r_ k\neq 0\}\) und das Residuum res(R) ist \(r_{-e}\) mit \(e=(1,...,1)\). 3) \(P=(P_ 1,...,P_ n)\in G^*_ n\) falls \(P_ j=c_ jx^ j+S_ j\) mit \(c_ j\neq 0\), \(S_ j\in L_ n\), \(ord(S_ j)\geq 2\) für \(j=1,...,n\). Für \(P\in G^*_ n\) is P’ die (formale) Jacobi-Determinante.
Diese Formel enthält bzw. erweitert eine Reihe von bekannten Residuen- Formeln und Verallgemeinerungen des Satzes von Bürmann-Lagrange, so die Formeln von Abhyankar bzw. Hermann Schmidt. Auch ein Problem von Yuzhakov über implizite Funktionen kann man hiermit lösen. Diese Arbeit ist ein schöner Beitrag zur algorithmischen Mathematik; sie wird durch zahlreiche historische Hinweise abgerundet.

Reviewer: St.Ruscheweyh

MSC:

40C15	Function-theoretic methods (including power series methods and semicontinuous methods) for summability
13F25	Formal power series rings
13J05	Power series rings

Keywords:

generalization of Bürmann-Lagrange formula; formal Laurent series