Modified wave operators with time-independent modifiers. (English) Zbl 0582.35036

Isozaki, Hiroshi; Kitada, Hitoshi

J. Fac. Sci., Univ. Tokyo, Sect. I A 32, 77-104 (1985).

Es seien \({\mathcal K}=L_ 2(R^ n)\) und \(H=H_ 0+V\) ein Schrödinger- Operator mit \(H_ 0=-\Delta\) und V ein Potential mit großer Reichweite. Es ist bekannt, daß für solche Potentiale verallgemeinerte Wellenoperatoren \[ W^{\pm}=-\lim_{t\to \pm \infty}e^{itH} J(t) e^{-itH_ 0} \] existieren. Ein geeignetes zeitabhängiges J(t) wurde 1964 von J. Dollard angegeben. In der vorliegenden Arbeit greifen die Verff. die Frage nach der Existenz verallgemeinerter Wellenoperatoren wieder auf und zeigen Existenz und Vollständigkeit eines neuen Typs mit zeitunabhängigem J, nämlich \[ W^{\pm}(\Gamma)=-\lim_{t\to \pm \infty}e^{itH} J e^{-itH_ 0} E_{H_ 0}(\Gamma). \] Dabei sind \(a>0\), \(\Gamma =[a,\infty)\) und \(E_ A\) die Spektralschar von A. \({\mathcal K}_{sc}(H)=\{0\}\) und \(R(W^{\pm}(\Gamma))=E_ H(\Gamma){\mathcal K}_ c(H)\) werden gefolgert. In einer nachfolgenden Arbeit wollen die Verff. aus diesen Ergebnissen neue Resultate für die Streuamplitude ableiten. Zum Beweis werden die Enss’sche Methode und frühere Ergebnisse der Verff. verwandt.

Reviewer: R.Leis

MSC:

35J10	Schrödinger operator, Schrödinger equation
35P25	Scattering theory for PDEs
81U20	\(S\)-matrix theory, etc. in quantum theory
47A40	Scattering theory of linear operators

Keywords:

Schrödinger operator; long range potential; wave operator; existence; completeness; Enss method