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The conjectures of Tate and Mordell. (Die Vermutungen von Tate und Mordell.) (German) Zbl 0586.14012
Ces deux articles sont, à peu de choses près, identique et peuvent donc être décrits simultanément. Il s’agit d’un rapport de l’A. donnant les grandes lignes de sa brillante démonstration de la conjecture énoncée en 1922 par Mordell: une courbe algébrique plane de genre \(\geq 2\) dont l’équation a ses coefficients dans un corps de nombres \(K\), ne contient qu’un nombre fini de points à coordonnées dans \(K\) [cf. the author, Invent. Math. 73, 349–366 (1983; Zbl 0588.14026)].
En 1968, A. Parshin montra que la conjecture de Mordell est conséquence d’une autre conjecture énoncée en 1962 par I. Shafarevich: Si \(K\) est un corps de nombres, \(S\) un ensemble fini de places de \(K\), alors l’ensemble des classes de \(K\)-isomorphie de courbes lisses et projectives, de genre \(\geq 2\), définies sur \(K\) et ayant bonne réduction hors de \(S\), est fini.
Soit en effet \(C\) une courbe de genre \(\geq 2\) définie sur \(K\); pour chaque point \(x\in C\) rationnel sur \(K\), Parshin construit un revêtement \(C_ x\) de \(C\) qui n’est ramifié qu’au point \(x\). Chaque courbe \(C_ x\) est définie sur une extension finie \(K'\) de \(K\), a un genre \(g'\geq 2\) et a bonne réduction hors d’un ensemble fini \(S'\) de places de \(K'\), où \(K', S'\) et \(g'\) sont indépendants de \(x\). Par la conjecture de Shafarevich, le nombre de classes de \(K'\)-isomorphie des courbes \(C_ x\) est fini, et il n’y a qu’un nombre fini de points rationnels \(x\) de \(C\) qui peuvent donner des courbes \(C_ x\) isomorphes, parce que \(g'\geq 2\); le nombre des points \(x\) est donc fini.
L’A. a démontré une conjecture plus générale que celle de Shafarevich, pour les variétés abéliennes définies sur un corps de nombres \(K\): pour un ensemble fini donné \(S\) de places de \(K\), l’ensemble des classes d’isomorphie de variétés abéliennes définies sur \(K\), de dimension donnée \(g\), et dont le modèle de Néron a bonne réduction hors de \(S\), est fini. La conjecture de Shafarevich pour les courbes de genre \(g\geq 2\) s’en déduit en plongeant la courbe dans sa jacobienne et utilisant le théorème de Torelli.
L’A. a démontré en premier lieu un autre conjecture, énoncée par Tate en 1965, et il en a ensuite déduit la conjecture de Shafarevich pour les variétés abéliennes. – La conjecture de Tate est de nature “infinitésimale”. Pour une variété abélienne \(A\) de dimension \(g\) définie sur un corps quelconque \(K\), et un nombre premier \(\ell\) différent de la caractéristique de \(K\), le module de Tate \(T_{\ell}(A)\) (déjà défini et étudié par A. Weil) est la limite projective des sous-groupes finis \(A_{\ell^ n}\) de \(A\), noyaux des endomorphismes \(x\mapsto \ell^ n\cdot x\); c’est un module libre de rang \(2g\) sur l’anneau \({\mathbb Z}_{\ell}\) des entiers \(\ell\)-adiques, et il joue le rôle de l’algèbre de Lie de \(A\). À tout endomorphisme \(u\) de \(A\) correspond un endomorphisme \(T_{\ell}(u)\) de \(T_{\ell}(A)\); d’autre part, le groupe de Galois \(\pi\) de la clôture algébrique \(\bar K\) de \(K\) opère sur \(T_{\ell}(A)\), et on a un endomorphisme naturel \[ \text{End}(A)\otimes_{{\mathbb Z}}{\mathbb Z}_{\ell}\to \text{End}_{\pi}(T_{\ell}(A))\tag{1} \] qui est injectif. La conjecture de Tate est que pour un corps de nombres \(K\), (1) est bijectif et en outre \(T_{\ell}(A)\otimes_{{\mathbb Z}_{\ell}}{\mathbb Q}_{\ell}\) est un \(\pi\)-module semi-simple.
Tate et Zarkhin ont ramené la preuve de cette conjecture à celle d’une autre proposition. Weil a défini sur \(T_{\ell}(A)\) une forme bilinéaire antisymétrique non dégénérée \(T_{\ell}(A)\times T_{\ell}(A)\to {\mathbb Z}_{\ell}.\) Soit \(W\) un sous-espace isotrope maximal pour cette forme dans l’espace vectoriel \(T_{\ell}(A)\otimes_{{\mathbb Z}_{\ell}}{\mathbb Q}_{\ell}\), invariant par \(\pi\). Soit \(G_ n\) l’image de \(T_{\ell}(A)\cap W\) dans \(T_{\ell}(A)/\ell^ nT_{\ell}(A)=A_{\ell^ n}\); si une infinité de variétés abéliennes \(A/G_ n\) (isogènes à \(A\)) sont \(K\)-isomorphes, alors la conjecture de Tate s’ensuit.
Pour établir cette proposition, l’A. introduit une idée nouvelle, celle de hauteur \(h(A)\) d’une variété abélienne \(A\) de dimension \(g\) définie sur un corps de nombres \(K\). Cette définition se rattache aux idées de S. Arakelov sur la nécessité de “compléter” en un certain sens le schéma \(\text{Spec}(\mathbb Z)\) par un “point à l’infini”. L’A. considère l’espace vectoriel \(\omega(A)\) de dimension 1 sur \(K\), puissance extérieure \(\bigwedge {\mathfrak a}^*\), où \({\mathfrak a}^*\) est le dual de l’algèbre de Lie \(\mathfrak a\) de \(A\). Il montre que pour toute place \(v\) de \(K\) (finie ou infinie) il y a une valeur absolue \(v\)-adique définie canoniquement sur \(\omega(A)\), et alors \[ h(A)=- (1/[k:{\mathbb Q}])\log \prod_{v}\| z\|_ v \] où \(z\neq 0\) est un élément de \(\omega(A)\) (cela ne dépend pas du choix de \(z\), en vertu de la formule du produit). La propriété essentielle de la hauteur est que pour tout triplet \((g,n,h)\) d’entiers \(>0\), il n’y a qu’un nombre fini de classe d’isomorphie de variétés abéliennes polarisées sur \(K\), de dimension \(g\), de degré de polarisation \(n\), et de hauteur \(h(A)\leq h\). C’est la partie la plus difficile de la démonstration, utilisant de nombreux théorèmes de géométrie algébrique, d’analyse et de théorie des nombres. L’idée générale est de comparer la hauteur \(h(A)\) à la hauteur (au sens classique en théorie des nombres) du point correspondant à \(A\) dans le schéma des modules \(M_{g,n}\) des classes d’isomorphie de variétés abéliennes polarisées de dimension \(g\) et de degré de polarisation \(n\); ce schéma n’étant pas complet, il faut en outre utiliser sa “complétion” ce qui entraîne de complications supplémentaires. Grâce à ce résultat, la conjecture de Tate se ramène à prouver que l’on a \(h(A/G_ n)=h(A)\) pour tout \(n\). L’A. établit la formule \(h(A/G_ n)-h(A)=n\cdot\log (\ell)(h/2-d)\) où \(d\) est la dimension et \(h\) la hauteur du groupe \(\ell\)-divisible \(G_{\infty}=\cup_{n}G_ n\). Il prouve ensuite que \(2d=h\), en utilisant les théorèmes de M. Raynaud sur les schémas en groupes commutatifs, et le théorème de Weil sur les valeurs propres du morphisme de Frobenius agissant sur le groupe \(H^ 1(A;{\mathbb Q}_{\ell})\) de cohomologie \(\ell\)-adique.
La conjecture de Shafarevich pour les variétés abéliennes se déduit alors de la conjecture de Tate en deux étapes. On montre d’abord que si \(S\) est un ensemble fini de places de \(K\), il n’y a qu’un nombre fini de classes d’isogénie de variétés abéliennes de dimension \(g\) sur \(K\), ayant bonne réduction hors de \(S\). On considère pour cela les représentations semi-simples de \(\pi\), non ramifiées hors de \(S\cup \{\ell \}\), qui correspondent aux \(\pi\)-modules \(T_{\ell}(A)\otimes_{{\mathbb Z}_{\ell}}{\mathbb Q}_{\ell}\); par la conjecture de Tate, il suffit de voir qu’il n’y a qu’un nombre fini de classes d’équivalence de ces représentations. Grâce à des théorèmes d’Hermite et Chebotarev, on prouve qu’il y a un ensemble fini \(T\) de places de \(K\), disjoint de \(S\cup \{\ell \}\) tel que la classe d’une représentation \(\ell\)-adique semi-simple \(\rho\) non ramifiée hors de \(S\cup \{\ell \}\), soit entièrement déterminée par les traces des images \(\rho (F_ v)\) des morphismes de Frobenius \(F_ v\) pour \(v\in T\). Mais ces traces sont des entiers, qui sont bornés en raison du théorème de Weil cité plus haut. D’où la finitude du nombre de classes d’équivalence des représentations considérées, et par suite du nombre des classes d’isogénie.
Il reste enfin à montrer qu’une classe d’isogénie de variétés abéliennes sur \(K\) ne contient qu’un nombre fini de classes d’isomorphie. L’A. considère pour cela la différence \(h(B)-h(A)\) pour une variété \(B\) isogène à \(A\); il montre que le nombre \(r(B)=\exp (2(h(B)-h(A)))\) est rationnel \(>0\) et que les exposants d’un nombre premier \(\ell\) dans \(r(B_ 1)\) et \(r(B_ 2)\) ne sont égaux que si \(T_{\ell}(B_ 1)\) et \(T_{\ell}(B_ 2)\) sont des \(\pi\)-modules isomorphes. Par Jordan- Zassenhaus, il n’y a qu’un nombre fini de \({\mathbb Z}_{\ell}\)-modules \(T_{\ell}(B)\subset T_{\ell}(A)\otimes_{{\mathbb Z}_{\ell}}{\mathbb Q}_{\ell}\) donc, pour chaque \(\ell\), l’exposant de \(\ell\) dans \(r(B)\) est borné par un nombre indépendant de \(B\). La proposition sera établie si l’on prouve que \(r(B)\) ne peut contenir qu’un nombre fini de diviseurs premiers lorsque \(B\) varie dans une classe d’isogénie. L’A. se ramène à montrer que \(h(B_ 1)=h(B_ 2)\) lorsqu’il existe une isogénie \(B_ 1\to B_ 2\) dont l’ordre est une puissance d’un nombre premier assez grand. La démonstration se fait comme pour la conjecture de Tate, en utilisant de nouveau les théorèmes de Raynaud et de Weil.
Comme l’avait fait Mumford avant lui, l’A. rend hommage à l’oeuvre de Grothendieck, qui a permis le spectaculaires progrès récents de géométrie algébrique et de géométrie diophantienne. Il est réconfortant que, fort de sa propre expérience, il fasse justice des sottises qu’on lit souvent sur les prétendues “mathématiques concrètes” qu’on prône au détriment des ”abstractions”. Elles sont l’expression de médiocres, incapables d’assimiler les idées nouvelles et de comprendre leur action sur la résolution des problèmes classiques. L’A. souligne avec humour que ces tenants des mathématiques ”concrètes” n’hésitent pas à utiliser les méthodes inventées au siècle dernier en algèbre et en topologie, que les médiocres de cette époque refusaient aussi comme trop ”abstraites”. Les médiocres et les sots sont de tous les temps.
Reviewer: J. Dieudonné

MSC:
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