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On contiguity of probability measures corresponding to semimartingales. (English) Zbl 0591.60039

Soit (\({\mathbb{D}},{\mathcal D})\) l’espace mesurable des fonctions X de \({\mathbb{R}}^+\) dans \({\mathbb{R}}\), continues à droite, admettant des limites à gauche avec \({\mathcal D}=\bigvee_{t\geq 0}{\mathcal F}_ t\) où \({\mathcal F}_ t=\cap_{\epsilon >0}\sigma \{X_ s,0\leq s\leq t+\epsilon \}.\) Soit \((P^ n)\) et \((\tilde P^ n)\) deux suites de probabilités définies sur (\({\mathbb{D}},{\mathcal D})\); on notera \(Q^ n=(P^ n+\tilde P^ n)/2\), \({\mathcal D}^ n\) la complétion de \({\mathcal D}\) pour \(Q^ n\) et \(F^ n=({\mathcal F}^ n_ t)_{t\geq 0}\) où \({\mathcal F}^ n_ t\) est la tribu \({\mathcal F}_ t\) complétée des ensembles de \(Q^ n\) mesure nulle de \({\mathcal D}^ n\). \((\tilde P^ n)\) est dite contigue par rapport à \((P^ n)\) (et on écrit \((\tilde P^ n)\triangleleft (P^ n))\) si pour toute suite \((A^ n)_{n\geq 1}\) d’ensembles où \(A^ n\in {\mathcal D}^ n\), on a l’implication: \[ \lim_{n\uparrow \infty}P^ n(A^ n)=0\Rightarrow \lim_{n\uparrow \infty}\tilde P^ n(A^ n)=0. \] Ce papier en continuité d’autres articles des mêmes auteurs et complétant des travaux de Eagleson, Gundy, Jacod, Mémin, Pukelsheim, présente (en termes de prévisibilité) des conditions nécessaires et suffisantes pour la contiguité \((\tilde P^ n)\triangleleft (P^ n)\), lorsque le processus canonique X défini sur (\({\mathbb{D}},{\mathcal D}^ n)\) est une \((F^ n,P^ n)\) (resp: \((F^ n,\tilde P^ n))\) semimartingale. Le résultat de base de cet article est d’exprimer ces conditions à partir des triplets de caractéristiques locales de la \((F^ n,P^ n)\), \((F^ n,\tilde P^ n)\) semimartingale X. Différents exemples sont considérés: cas où \(P^ n\), \(\tilde P^ n\) sont des lois de processus ponctuels, ou des lois de processus à accroissements indépendants, ou des lois de processus à trajectoires continues de type: diffusion généralisée.
Reviewer: J.Memin

MSC:

60G30 Continuity and singularity of induced measures
60H05 Stochastic integrals
60J25 Continuous-time Markov processes on general state spaces
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