×

The lemniscate through rationals. (Die Lemniskate in rationaler Behandlung.) (German) JFM 06.0444.02

Prag. Abh. VI (1874).
Aus der Gleichungsform der Lemniskate \[ (x^2+y^2)^2- 2a^2(x^2-y^2)=0 \] wird unmittelbar die Eigenschaft hergeleitet, dass dieselbe drei Doppelpunkte besitzt, deren Tangenten Inflexionstangenten sind. Zwei dieser Doppelpunkte sind imginär und fallen mit den Kreispunkten zusammen, einer ist reell. Da “Drei” die grösstmöglichste Zahl der Doppelpunkte einer Curve vierter Ordnung ist, so ist die Lemniskate eine rationale Curve und die Behandlung mit Hülfe eines Parameters, welcher mit den Curvenpunkten in eindeutiger Beziehung steht, besonders fruchtbar. Als solcher wird folgender Werth eingeführt. Durch die drei Doppelpunkte und einen beliebigen vierten auf der Curve lässt sich ein Kegelschnittbüschel legen; dieses muss ein Kreisbüschel sein, dessen Scheitel der Doppelpunkt \(O\) und der beliebig gewählte vierte Curvenpunkt ist. Wählt man als diesen den Nachbarpunkt von \(O\), so entsteht ein Kreisbüschel, welches eine der beiden Doppeltangenten in \(O\) berührt. Jedes Elemente dieses Büschels schneidet die Lemniskate noch in einem Punkte, so dass jeder Lemniskatenpunkt mit einem Kreise des Büschels in eindeutiger Wechselbeziehung steht. Der Radius \(u\) eines solchen Kreises wird nun mit besonderem Erfolg als Parameter eingeführt.
Von den Eigenschaften der Lemniskate, welche durch diese Behandlungsweise gewonnen werden, mögen einige der bemerkenswerthesten hier Platz finden:
“Die Berührungspunkte der vier durch irgend einen Punkte \(u'\) der Lemniskate an dieselbe gelegten Tangenten liegen in einer und derselben Geraden \(U'\). Dieselbe steht senkrecht auf der Geraden, welche den Punkt \(u'\) mit dem Doppelpunkt \(o\) der Lemniskate verbindet, und zwar beträgt ihre Entfernung von \(o\) die Hälfte des Strahls \(ou'\). Um die Gerade \(U'\) zu construiren, hat man nur den Strahl \(ou'\) über \(O\) hinaus um \(\frac12 ou'\) zu verlängern.”
Nennt man 4 Punkte eienr Lemniskate, welche auf einem Kreise liegen, ein Quadrupel, so ergeben sich folgende Sätze: “Wenn ein Punktepaar mit einem zweiten, dieses mit einem dritten, und dieses wieder mit einem vierten ein Quadrupel bildet, so bildet auch das erste mit dem vierten ein Quadrupel.” – Bilden vier Punkte der Lemniskate ein Quadrupel, so bilden je zwei von ihnen mit den den beiden anderen diametral gegenüberliegenden wieder ein Quadrupel. – Die den Punkten eines Quadrupels diametral gegenüberliegenden Punkte bilden gleichfalls ein Quadrupel.
“Der Krümmungskreis der Lemniskate in einem Punkte \(u\) schneidet die Curve in einem Punkte \(u_1\), so dass der Winkel \(ou_1u= 90^\circ\) ist. – Die den Krümmungskreisen und der Lemniskate gemeinschaftlichen Sehnen sind Tangenten eienr Hyperbel, deren Fusspunktcurve die Lemniskate ist. – Durch jeden Punkt \(u_1\) einer Lemniskate gehen 3 Krümmungskreise, ihre Berührungspunkte sind diejenigen Punkte, in welchen die in \(u_1\) auf \(ou_1\) errichtete Senkrechte die Lemniskate schneidet. – Nennt man denjenigen Punkt, in welchem ein Krümmungskreis die Lemniskate schneidet, den dem Berührungspunkt beigeordneten Punkt, so liegen, wenn vier Punkte der Lemniskate in einem Kreise sich befinden, auch ihre beigeordneten Punkte in einem Kreise.”
Zu jeder Richtung lassen sich sechs parallele Tangenten an die Lemniskate legen; ihre Berührungspunkte zu zweien liegen in drei immer reellen, sechszig Grad mit einander bildenden Durchmessern.”
“Wenn von den acht Schnittpunkten der Lemniskate mit einem Kegelschnitte vier in einem Kreise liegen, so liegen auch die übrigen vier in einem Kreise.”

MSC:

14H45 Special algebraic curves and curves of low genus
51N35 Questions of classical algebraic geometry
14E05 Rational and birational maps