Ueber die Correspondenzformel. (German) JFM 06.0529.01

Brill, Alexander

Clebsch Ann. VII, 607-622 (1874).

Wenn durch eine algebraische Gleichung zwischen den Coordinaten zweier Punkte \(x,y\) einer Ebene jedem Punkte \(x\) eine Curve \((y)\) \(L^{\text{ter}}\) Ordnung entspricht und jedem Punkte \(y\) eine Curve \((x)\) \(K^{\text{ter}}\) Ordnung, so entsprechen hiedurch jedem Punkte \(x\) einer gegebenen Curve \(m^{\text{ter}}\) Ordnung \(f(x)=0\), \(mL=l\) Punkte \(y\), während jedem \(y\) \(mK=k\) Punkte \(x\) entsprechen. In dieser Correspondenz \((k,l)\) der Punkte von \(f\) giebt es dann \(k+l\) Coincidenzpunkte, d. h. Punkte, für welche einer der correspondirenden Punkte \(x\) in \(y\) fällt und umgekehrt. Dies gilt aber nur, wenn die einem unbestimmten Punkte \(x\) resp. \(y\) entsprechende Curve nicht selbst durch \(x\) resp. \(y\) geht. Wenn aber von den Schnittpunkten einer Curve \((y)\), die einem Punkte \(x\) auf \(f\) entspricht, \(\gamma\) in \(x\) fallen, so zeigt sich, dass von den Schnittpunkten einer Curve \((x)\) die einem Punkte \(y\) entspricht, auch \(\gamma\) in \(y\) fallen und die Correspondenz soll dann eine mit \(\gamma\)-wertigem Punkte \(x=y\) genannt und dur \((k-\gamma, l-\gamma)\) bezeichnet werden.
Betrachtet man nun zwei solche Correspondenzen \[ \varphi= (k-\gamma, l-\gamma), \qquad \varphi'= (k'-\gamma', l'- \gamma'), \] so folgen für die Anzahl von Punktepaaren, die beiden gleichzeitig genügen, je nachdem man die eine oder andere der beiden Correspondenzen unendlich wenig deformirt, zwei Ausdrücke, deren Gleichsetzung mit Hülfe eine speciellen Falles einmal liefert die gesuchte Correspondenzformel \[ P= \kappa+ \lambda+ 2p\gamma, \] andererseits die Anzahl \((\varphi\varphi')\) der beiden Correspondenzen gleichzeitig genügenden Punktepaare \[ (\varphi\varphi')= \kappa\lambda'+ \kappa'\lambda- 2p\gamma\gamma', \] wo \[ \kappa= k- \gamma, \quad \lambda= l-\gamma, \quad \kappa'= k'-\gamma', \quad \lambda'= l'-\gamma', \] \(2p\) das Geschlecht der Curve \(f\) bezeichnet.
In der zweiten Abtheilung wird diese Formel auf Correspondenzen mit mehrwerthigen Punkten ausgedehnt, wobei sie ihre Form nicht ändert, sondern nur unter \(\kappa\) und \(\lambda\) die Gesammtzahl der \(y\) resp. \(x\) entsprechenden Punkte verstanden ist, die nicht mit \(y\) resp. \(x\) zusammenfallen. Dabei wird der Satz bewiesen, dass wenn einem Punkte \(x'\) einer Curve unter andern ein Punkt \(y'\) als \(i\)- facher entspricht, umgekehrt diesem \(y'\) der Punkt \(x'\) wieder als \(i\)-facher entspricht.
Der III. Theil endlich beschäftigt sich mit den Modificationen, die eintreten, wenn die Curve \(f\) Ausnahmepunkte hat, d. h. Doppel- und Rückkehrpunkte oder Punkte, die jedem Punkte \(x\) resp. \(y\) entsprechen. Diese veranlassen eine Unterscheidung der Coincidenzen in eigentliche und uneigentliche, von welchen die ersteren bei eindeutiger Transformation erhalten bleiben. Deren Zahl ergiebt sich durch die früheren Formel, während für die Zahl der eigentlichen Coincidenzen, die nicht in Ausnahmepunkte fallen, eine Reduction nöthig ist, die man erhält, indem man für jeden Ausnahmepunkt bestimmt, wie viele der ihm entsprechenden Punkte in ihn zurückfallen, und diese Zahlen summirt.
Wie sich in speciellen Fällen diese Reduction gestaltet, wird dann noch an einigen Beispielen gezeigt.

Reviewer: Lüroth, Prof. (Carlsruhe)

JFM Section:

Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie. Capitel 5. Verwandtschaft, eindeutige Transformationen. Abbildungen.