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Wie weit sind Moduln vom Satz von Krull-Remak-Schmidt entfernt? Eine Analyse am Beispiel fast-freier abelscher Gruppen und ihre Konsequenzen. (How far from the Krull-Remak-Schmidt theorem are modules? An analysis of almost-free Abelian groups as an example and its consequences). (German) Zbl 0611.20034
Wie der Titel bereits vermuten läßt handelt diese Arbeit von Zerlegbarkeits-Problemen bei abelschen Gruppen. Es ist ein ausführlicher Überblicks-Artikel, der sich auf die Schilderung von Ergebnissen aus den letzten 20 Jahren konzentriert. 207 Literatur- Hinweise beschließen diesen sorgfältigen Bericht.
Der Autor beginnt mit dem Satz von Nöbeling, der die Freiheit (und damit die direkte Zerlegbarkeit) der Gruppe aller beschränkten Funktionen von einer unendlichen Kardinalzahl in die Gruppe \({\mathbb{Z}}\) aller ganzen Zahlen besagt. Die Diskussion führt sodann über \(\kappa\)-freie sowie stark \(\kappa\)-freie Gruppen zu schlanken Gruppen, separablen Gruppen und schließlich zum Whiteheadschen Problem. Hier werden insbesondere die Resultate von K. Stein, S. Chase, S. Shelah, Huber, Dugas-Göbel etc. besprochen. Eindringlich wird die Rolle der ”höheren” mengentheoretischen Methoden wie proper forcing, V\(=L\), Martins Axiom, singular compactness etc. in den Beweisen betont.
Reviewer: U.Felgner

MSC:
20K99 Abelian groups
03E45 Inner models, including constructibility, ordinal definability, and core models
13L05 Applications of logic to commutative algebra
03E50 Continuum hypothesis and Martin’s axiom
03E75 Applications of set theory
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