Proximité évanescente. II: Equations fonctionnelles pour plusieurs fonctions analytiques. (Vanishing neighborhoods. II: Functional equations for several analytic functions). (French) Zbl 0632.32006

Sabbah, C.

Compos. Math. 64, 213-241 (1987).

Soient \(f=(f_ 1,...,f_ k): X\to {\mathbb{C}}^ k\) une application analytique sur une variété analytique complexe X, \({\mathcal M}\) un \({\mathcal D}_ X-module\) holonome, \(i_ f: X\to X\times {\mathbb{C}}^ k\) le plongement associé au graphe de f et \({\mathcal N}\) le \({\mathcal D}_{X\times {\mathbb{C}}^ k}\)-module \((i_ f)_*({\mathcal M}).\)
On considère sur \({\mathcal N}\) une bonne multi-filtration U.(\({\mathcal N})\), alors d’après partie I de cet article, ibid. 62, 283-328 (1987; Zbl 0622.32012) il existe un ensemble fini \({\mathcal L}\) dans \((Q^ k)^*\) tel que, pour tout \(L\in {\mathcal L}\) et pour tout \(i\in \{1,...,k\}\) il existe un polynôme \(b_{L,i}\in {\mathbb{C}}[t]\) tels que l’on ait, pour tout \(\sigma \in {\mathbb{Z}}^ k\) \[ [\prod_{L\in {\mathcal L}}b_{L,i}(L(\partial_ tt+\sigma))]\cdot U_{\sigma} \subset U_{\sigma -1_ i} \] où \(1_ i\) est le i-ème vecteur de base de \({\mathbb{Z}}^ k\). Un ensemble \({\mathcal L}\) vérifiant la propriété ci- dessus est appelé par l’A. un ensemble de pentes pour la filtration U.(\({\mathcal N})\). Cela donne en particulier des équations fonctionnelles du type: \[ [\prod_{L\in {\mathcal L}}b_{L,i}(L(s))]\cdot f^ s= P_ i(x,\partial_ x,s)f^ s\cdot f_ i \] pour chaque \(i\in \{1,...,k\}\). On dit dans ce cas que \({\mathcal L}\) est un ensemble de pentes pour f.
Le résultat principal de cet article est que, pour \({\mathcal N}\) régulier, un ensemble de pentes peut être calculé à partir de la géométrie de la variété caractéristique de \({\mathcal N}\). Le cas \(k=2\) a une interprétation géométrique très simple: Supposons que le germe d’application analytique \(f=(f_ 1,f_ 2):({\mathbb{C}}^{n+1},0)\to ({\mathbb{C}}^ 2,0)\) soit sans éclatement en codimension 0. Soit \(\Delta\) le discriminant de f. L’ensemble des rapports des multiplicités d’intersection en 0 de chaque branche de \(\Delta\) avec les deux axes est un ensemble de pentes pour f.

Reviewer: F.Castro

MSC:

32C38	Sheaves of differential operators and their modules, \(D\)-modules
32Sxx	Complex singularities
32A20	Meromorphic functions of several complex variables
14F10	Differentials and other special sheaves; D-modules; Bernstein-Sato ideals and polynomials
14B25	Local structure of morphisms in algebraic geometry: étale, flat, etc.
32S45	Modifications; resolution of singularities (complex-analytic aspects)
35A27	Microlocal methods and methods of sheaf theory and homological algebra applied to PDEs

Keywords:

Bernstein polynomial; fan; characteristic manifold; morphism without blowing-up

Citations:

Zbl 0622.32012

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