Line relaxation for spectral multigrid methods. (English) Zbl 0649.65055

Heinrichs, Wilhelm

J. Comput. Phys. 77, No. 1, 166-182 (1988).

Le présent article se rapporte à des méthodes spectrales à grilles multiples, destinées à la résolution approchée de problèmes elliptiques. Des procédés établis pour le traitement de problèmes admettant des conditions aux limites qui sont de Dirichlet ou périodiques par surcroît ont été améliorés au moyen de techniques de relaxation suivant les lignes.
L’A. aborde la discrétisation pseudospectrale et celle correspondant aux différences finies, qui s’appuie sur l’étoile à cinq points, relativement au problème de Dirichlet. Par ailleurs il utilise un schéma de relaxation, le schéma de Richardson combiné avec une correction de l’écart. La qualité du procédé ressort d’une analyse du lissage. L’A. est amené ainsi à considérer les techniques de Richardson qui sont au nombre de trois: relaxation stationnaire, non stationnaire, ou encore au reste minimum. La correction du défaut exige soit des décompositions LU incomplètes alternatives, soit la relaxation suivant les lignes du zèbre avec alternance. Divers choix des paramètres de relaxation sont envisagés.
L’A. considère à présent un algorithme à multigrille spectrale contenant un schéma de relaxation. Il découle des résultats numériques obtenus que les méthodes proposées accélèrent la convergence. Par ailleurs l’A. reprend des exemples déjà traités par d’autres, en l’occurrence des équations de Poisson, qu’il résout moyennant des techniques FMG (multigrille pleine). Une comparaison avec une méthode antérieure montre que l’une des techniques indiquées procure un gain en précision. L’article se termine par l’examen de problèmes de Chebychev-Fourier à domaine rectangulaire ou annulaire.
Remarque: D’après l’A. divers choix des paramètres sont discutés sub 4.3. Or, le mot paramètre ne figure pas dans cette subdivision. Il s’agirait donc ou de 4.2 ou de la section 5. D’autre part l’aut. met sur le même niveau des sections comme 2, 3 (ou chapitres) et des subdivisions telles que 4.1, 4.2 (ou paragraphes).

Reviewer: Raoul F. Gloden (Ispra)

MSC:

65N22	Numerical solution of discretized equations for boundary value problems involving PDEs
65F10	Iterative numerical methods for linear systems
35J25	Boundary value problems for second-order elliptic equations

Keywords:

spectral multigrid methods; periodic boundary conditions; multigrid convergence; line relaxation; smoothing; choices of relaxation parameters; numerical examples; Dirichlet problem

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