Steuerung freier Ränder. (Control of free boundaries). (German) Zbl 0679.49009

Hoffmann, K.-H.

Jahresber. Dtsch. Math.-Ver. 91, No. 2, 67-92 (1989).

Der Artikel bringt eine Übersicht über neuere Resultate auf dem Gebiet der Steuerungstheorie partieller Differentialgleichungen. Wir beschränken uns dabei auf die Behandlung freier Randwertaufgaben, ein Teilaspekt, dem gerade in neuerer Zeit verstärkte Aufmerksamkeit gewidmet wird. Nahezu alle Resultate wurden bisher für Phasenübergänge von flüssiger Materie in feste oder umgekehrt erzielt, so daß es angemessen erscheint, hier nur Steuerungsprobleme vom Stefanschen Typ darzustellen. Es werden allerdings heute auch große Anstrengungen unternommen, Phasenübergänge in Festkörpern durch mathematische Modelle zu beschreiben. Von einer Steuerung solcher Vorgänge ist man jedoch noch weit entfernt.
Wir unterscheiden in dieser Arbeit nach Steuerungsproblemen, bei denen nach einer automatischen Regelung (“feedback”) gefragt ist und solchen, bei denen ein Gütekriterium in der Form eines Kostenfunktionals minimiert werden soll (“optimal control”). Erstere werden hier nur bei Stefan-Problemen in einer Raumdimension dargestellt, obwohl bereits Resultate in mehreren Raumdimensionen vorliegen, während wir die Resultate und Beispiele der Optimalsteuerung an räumlich mehrdimensionalen Stefan-Problemen demonstrieren werden.

MSC:

49J40	Variational inequalities
49K20	Optimality conditions for problems involving partial differential equations
35R35	Free boundary problems for PDEs
93C20	Control/observation systems governed by partial differential equations

Keywords:

free boundaries; Stefan-problem; hysteresis phase change; Preisach model; feedback; optimal control