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Zur Theorie der partiellen Differentialgleichungen. (German) JFM 07.0201.01

Die vorliegende Arbeit behandelt denselben Gegenstand wie die vorher besprochene von Herrn Darboux (JFM 07.0198.02), jedoch mit ungleich grösserer Gründlichkeit und Vollständigkeit.
Nachdem in der Einleitung die Sätze, betreffend die Existenz der Integrale eines beliebig gegebenen Systems gewöhnlicher algebraischer Differentialgleichungen in der Fassung angeführt worden sind, welche ihnen Herr Weierstrass in seinen Vorlesungen zu geben pflegt, beschäftigt sich die Abhandlung mit der Ausdehnung dieser Sätze auf die Integrale gegebener partieller Differentialgleichungen. Als Ausgangspunkt dient folgender Satz:
Es sei für die zu bestimmenden Functionen \(\varphi_1\ldots \varphi_n\) der unabhängigen Veränderlichen \(xx_1\ldots x_r\) folgendes System von \(n\) linearen homogenen partiellen Differentialgleichungen gegeben: \[ (1)\quad \frac{\partial \varphi_\gamma}{\partial x} = \sum_1^n {}_\beta G_{1,\beta}^\gamma (\varphi_1\ldots \varphi_n) \frac{\partial \varphi_\beta}{\partial x_1} + \cdots + \sum_1^n {}_\beta G_{r,\beta}^\gamma (\varphi_1\ldots \varphi_n) \frac{\partial \varphi_\beta}{\partial x_r} \]
\[ (\gamma=1,2\ldots n), \] wo die \(G_{\alpha\beta}^\gamma\) nach ganzen positiven Potenzen von \(\varphi_1\ldots \varphi_n\) fortschreitende Reihen (im Folgenden kurz “Potenzreihen” genannt) bedeuten, die innerhalb eines gewissen Bereiches convergiren. Dann giebt es \(n\) bestimmte sämmtlich in einem gewissen Bereiche convergirende Potenzreihen von \((xx_1\ldots x_r)\), welche für \(\varphi_1\ldots \varphi_n\) in die Gleichungen (1) eingesetzt, dieselbe befriedigen und für \(x=0\) beziehlich in die willkürlich angenommenen Potenzreihen \[ \varphi(x_1\ldots x_r)_{1,0} \ldots \varphi(x_1\ldots x_r)_{n,0} \] übergehen von der Eigenschaft, dass sie einen gemeinschaftlichen Convergenzbezirk besitzen und für \(x_1=0,\ldots x_r=0\) sämmtlich verschwinden. Der Beweis geschieht durch Vergleichung des Systems (1) mit einem ähnlichen einfacheren System, welches vermöge passend gewählter Anfangsbedingungen durch Potenzreihen befriedigt wird, in denen sämmtliche Coefficienten positiv und dem absoluten Betrage nach grösser als die entsprechenden Coefficienten in den \(\varphi\) sind, und deren Convergenz durch wirkliche Ausführung der Integration sich unmittelbar ergiebt. Das nicht homogene lineare System von der Form: \[ (2) \quad \frac{\partial \varphi_\gamma}{\partial x} = \sum_1^n {}_\beta G_{1,\beta}^\gamma (\varphi_1\ldots \varphi_n) \frac{\partial \varphi_\beta}{\partial x_1} + \cdots \]
\[ +\sum {}_\beta G_{r,\beta}^\gamma (\varphi_1\ldots \varphi_n) \frac{\partial \varphi_\beta}{\partial x_r} + G^\gamma(\varphi_1\ldots \varphi_n) \]
\[ (\gamma=1,2 ..,n), \] führt man auf die Form (1) zurück, indem man zu den Gleichungen (2) noch die Gleichung \(\frac{\partial \varphi_0}{\partial x}=0\) hinzufügt, mit der Festsetzung, dass \(\varphi_0=x_1\) für \(x=0\) sei, und jedes der Glieder \(G^\gamma\) mit \(\frac{\partial \varphi_0}{\partial x_1}\) multiplicirt. Es sei nunmehr die partielle Differentialgleichung \(n^{\text{ter}}\) Ordnung \[ (3)\quad G \left( xx_1\cdot x_r\varphi\cdots \frac{\partial^{\alpha+\alpha_1+\ldots +\alpha_r} \varphi}{ \partial x^\alpha \partial x_1^{\alpha_1} \ldots \partial x_r^{\alpha_r} } \right) =0, \quad (\alpha+\alpha_1+\cdots + \alpha_r \leqq n) \] zur Bestimmung von \(\varphi\) gegeben, wo \(G\) eine ganze rationale irreductible Function der unter ihrem Zeichen vorkommenden Argumente bedeutet; die Gleichung habe ferner die normale Form, d. h. wenigstens eine der Ableitungen \[ \frac{\partial^n\varphi}{\partial x^n},\quad \frac{\partial_\varphi^n}{\partial x_1^n}, \cdots \frac{\partial^n\varphi}{\partial x_r^n} \] komme in \(G\) wirklich vor. Die Anfangsbedingung für \(\varphi\) seien \[ \varphi=\varphi^0,\quad \frac{\partial \varphi}{\partial x} = \varphi'\cdots \frac{\partial^{n-1}\varphi}{\partial x^{n-1}} = \varphi^{(n-1)} \] für \(x=a\), wo \(\varphi^0\varphi'\cdots \varphi^{(n-1)}\) willkürlich angenommene in einem gewissen Bezirke convergirende Potenzreihen von \(x_1-a_1,\ldots x_r-a_r\) bezeichnen, mit der einzigen Beschränkung, dass die Gleichung \(G=0\) nach \(\frac{\partial^n\varphi}{\partial x^n}\) aufgelöst für \(x=a,x_1=a_1,\ldots x^r=a_r\) wenigstens eine einfache endliche Wurzel liefert, also \[ G'\left( \frac{\partial^n \varphi}{\partial x^n} \right) = \frac{\partial G}{\partial \frac{\partial^n\varphi}{\partial x^n}} \] für dieses Werthsystem nicht verschwindet.
Setzt man nun \[ x=a+u, \quad x_1=a_1+u_1,\ldots x_r=a_r+u_r \]
\[ (4) \quad \frac{\partial \varphi}{\partial u}= \varphi_1, \cdots \frac{\partial \varphi_{n-1}}{\partial u} = \varphi_n, \] und bezeichnet die übrigen in \(G\) vorkommenden Ableitungen von \(\varphi\) mit \(\varphi_{n+1}\ldots \varphi_s\), so erhält man aus (3) durch partielle Integration nach \(u\): \[ (5)\quad -G'(\varphi_n)\frac{\partial \varphi_n}{\partial u} = G'(x)+G'(\varphi)\frac{ \partial \varphi}{\partial u} + \ldots \]
\[ +G'(\varphi_{n-1}) \frac{\partial \varphi_{n-1}}{\partial u} + G'(\varphi_{n+1}) \frac{\partial\varphi_{n+1}}{\partial u} + \ldots + G'(\varphi_s)\frac{ \partial \varphi_s}{\partial u}, \] ferner hat man für \(\lambda=1,2\ldots s-n\) identisch \[ (6) \frac{\partial \varphi_{n+\lambda}}{\partial u} = \frac{\partial\varphi_\mu}{\partial u_\nu} \left\{ \begin{matrix} \mu & \text{ eine der Zahlen } & 1,\ldots s,\\ \nu & ''\quad ''\quad'' & 1,\ldots r, \end{matrix} \right. \] endlich ist \[ (7) \quad \frac{\partial x}{\partial u}=1,\quad \frac{\partial x_1}{\partial u}=0, \ldots \frac{\partial x_r}{\partial u}=0, \] (4) (5) (6) (7) bilden ein System von \(s+r+2\) Gleichungen von der Form (2) für die Grössen \(x,x_1,\ldots x_r,\varphi,\varphi_1,\ldots \varphi_s\) als Functionen von \(u,u_1,\ldots u_r\) mit den Anfangsbedingungen \[ x=a,\quad x_1=a+u_1, \ldots x_r=a+u_r, \] \( \varphi=\varphi^0, \quad \varphi_1=\varphi',\ldots \varphi_{n-1}= \varphi^{(n-1)}\) (Potenzreihen von \(u_1\ldots u_r\)) für \(u=0\). Der Anfangswerth für \(\varphi_n\) ist durch Auflösung der Gleichung \(G=0\) nach \(\varphi_n\) für \(u=0\) und die Anfangswerthe für \(\varphi_{n+\lambda}\) durch partielle Ableitungen bis zur \(n^{\text{ten}}\) Ordnung von \(\varphi^0\varphi'\ldots \varphi^{(n-1)}\) nach \(u_1,\ldots u_r\) gegeben. Unter den erwähnten \(\varphi_n\) für \(u=0\) sind nur diejenigen beizubehalten, welche in Potenzreihen von \(u_1\ldots u_r\) entwickelt werden können, also im Allgemeinen nur solche, für welche \(G'(\varphi_n)\) an der Stelle \(u=0,u_1=0,\ldots u_r=0\) nicht verschwindet. Ist eine derselben gewählt, so ist das Integral der Gleichung (3) vollständig bestimmt und der obigen Reduction derselben auf die Form (2) folgt die Darstellung des Integrals in convergirende Potenzreihen von \(x-a,x_1-a_1,\ldots x_r-a_r\). Diejenigen Functionen \(\varphi\), welche den Gleichungen \[ G=0, \quad G'\left( \frac{\partial^n\varphi}{\partial x^n} \right) =0 \] simultan genügen, sind die singulären Lösungen der Gleichung (3).
Durch Einführung linearer Functionen von \(x,x_1,\ldots x_r\) an Stelle der anabhängigen Variablen kann der Gleichung (3), falls sie die normale Form nicht hat, dieselbe ertheilt werden. Bei Gelegenheit dieses Nachweises wird eine für die Theorie der partiellen Differentialgleichungen sehr wichtige Bemerkung gemacht. Kommt nämlich in der Gleichung (3) zwar nicht \(\frac{\partial^n\varphi}{\partial x^n}\), aber \(\frac{\partial^m\varphi}{\partial x^m}\;\; (0<m<n)\) vor und ist überdiess in den übrigen Ableitungen \(\frac{\partial^{\alpha+\alpha_1+\ldots +\alpha_r}\varphi} {\partial x^\alpha \partial x_1^{\alpha_1} \ldots \partial x_r^{\alpha_r}} \;\; \alpha<m\), so kann man eine Potenzreihe von \(x-a, x_1-a_1,\ldots x_r-a_r\) für \(\varphi\) bestimmen, die der Gleichung (3) formal genügt und so beschaffen ist, dass \[ \varphi,\;\; \frac{\partial \varphi}{\partial x},\cdots \frac{\partial^{m-1}\varphi}{\partial x^{m-1}} \] für \(x=a\) beziehlich in die willkürlich gegebenen Potenreihen von \((x_1-a_1,\ldots x_r-a_r):\varphi^0\varphi' \ldots \varphi^{(m-1)}\) übergehen. Allein im Allgemeinen wird die so bestimmte Potenzreihe für \(\varphi\) selbst in der nächsten Umgebung von \((aa_1\ldots a_r)\) nicht convergiren. An dem Beispiel \(\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}\) mit der Bedingung \(\varphi=\varphi_0(y-b)\) für \(x=a\) wird in der That nachgewiesen, dass die der Differentialgleichung und der Anfangsbedingung formal genügende Potenzreihe von \((x-a,y-b)\) für \(\varphi\) stets divergent ist, sobald die Reihe nach Potenzen von \(y-b\) für \(\varphi_0\) nur einen beschränkten Convergenzbezirk besitzt und selbst in Fällen divergent sein kann, wo für \(\varphi_0\) eine beständig convergirende Reihe gewählt wird. (Die Richtigkeir dieser Behauptung erhellt übrigens auch leicht aus der Betrachtung der bekannten Lösung unter der Form des bestimmten Integrals \[ \varphi=\frac{1}{\surd \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi_0(y-b+2\beta \sqrt{x-a} )\cdot e^{-\beta^2} d\beta. \] Zum Schluss wird ein System von \(m\) algebraischen partiellen Differentialgleichungen für \(m\) Functionen \(\varphi_1\ldots \varphi_m\) der Variablen \(xx_1\ldots x_r\) von der \({n_\lambda}^{\text{ten}}\) Ordnung in Bezug auf \(\varphi_\lambda\) betrachtet, unter der Voraussetzung, dass dasselbe die Ableitungen \[ \frac{\partial^{n_1}\varphi_1}{\partial x^{n_1}} \cdots \frac{\partial^{n_m}\varphi_m}{\partial x^{n_m}} \] wirklich enthalte, also die normale Form habe, dass es ferner nach diesen Grössen auflösbar sei, und nur eine endliche Anzahl von Werthsystemen dieser Grössen liefere. Das Gleichungsystem wird ähnlich wie von Jacobi jedes System algebraischer Differentialgleichungen (Borchardt J. LXIV. S. 237, Vorlesungen über Dynamik Anhang S. 55) auf eine “canonische” Form gebracht. Bedeutet \({\mathfrak G}=0\) das Eliminationsresultat der Ableitungen \[ \frac{\partial^{n_1}\varphi_1}{\partial x^{n_1}} \cdots \frac{\partial^{n_m}\varphi_m} {\partial x^{n_m}} \] aus dem vorlgelegten Gleichungssystem und der linearen Gleichung \[ \varphi_0=c_1 \frac{\partial^{n_1}\varphi_1}{\partial x^{n_1}} + \ldots + c_m\frac{\partial^{n_m}\varphi_m}{\partial x^{n_m}}, \] \(G\) einen irreductiblen Factor von \(\mathfrak G\) und ist \[ G'=\frac{\partial G}{\partial \varphi_0},\quad G_\lambda= - \frac{\partial G}{\partial c_\lambda}, \] so lautet die erwähnte canonische Form: \[ G(\varphi_0)=0, \quad G'\frac{\partial^{n_1}\varphi_1}{\partial x^{n_1}}=G_1,\ldots G'\frac{\partial^{n_m}\varphi_m}{\partial x^{n_m}}=G_m. \] Dieses System wird durch ein dem Vorhergehenden ähnliches Verfahren auf ein lineares System von der Form(2) zurückgeführt. Diejenigen Functionensysteme \(\varphi_0\; \varphi_1\ldots \;\varphi_m\), welche ausser den Gleichungen (8) noch die gleichung \(G'=0\) befriedigen, bilden die singulären Lösungen des Systems (8).

Citations:

JFM 07.0198.02
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Full Text: Crelle EuDML