New similarity solutions for the modified Boussinesq equation. (English) Zbl 0704.35116

Clarkson, Peter A.

J. Phys. A, Math. Gen. 22, No. 13, 2355-2367 (1989).

Für die Gleichung \(q_{tt}-q_ tq_{xx}-q^ 2_ xq_{xx}+q_{xxxx}=0\) wird ein Lösungsansatz \(q(x,t)=\alpha (x,t)+\beta (x,t)w(z(x,t))\) gemacht, wobei es genügt, diesen speziellen Ansatz statt eines Ansatzes \(q(x,t)=Q(x,t,w(z(x,t)))\) zu behandeln. Nach dem Einsetzen sollen verschiedene Ausdrücke Funktionen von z allein sein, so daß eine gewöhnliche Differentialgleichung für w(z) entsteht.
Die Bedingungen sind ein überbestimmtes System von Gleichungen für \(\alpha\) (x,t), \(\beta\) (x,t), z(x,t), wofür Lösungen gefunden werden. Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung sind durch elliptische Funktionen oder Lösungen der zweiten Painlevé Gleichung oder der vierten Painlevé Gleichung ausdrückbar und sind nicht in den mittels klassischer Lie Gruppen Methoden gefundenen Lösungen enthalten.

Reviewer: J.Jaenicke

MSC:

35Q35	PDEs in connection with fluid mechanics
35C05	Solutions to PDEs in closed form

Keywords:

similarity solutions; Boussinesq equation; over determined system